Сколько целых чисел входят в область значений функций?

Отыщем область значений указанной функции. для этого сначала преобразуем определённым образом подкоренное выражение для удобства: раскроем скобки, затем дважды используем формулу понижения степени, выражение к квадратному трёхчлену относительно некоторой функции. таким образом, мы смогли подкоренное выражение к квадратному трёхчлену относительно sin4x. на всякий случай скажу, что в препоследнем равенстве с формулы понижения степени я выразил квадрат синуса через косинус удвоенного угла. теперь всё сводится к нахождению наименьшего и наибольшего значений полученного трёхчлена.  если мы сделаем замену t = sin 4x, то получаем квадратный трёхчлен , ветви соответствующей параболы которого направлены вниз в силу отрицательности коэффициента при квадрате. найдём её абсциссу оси симметрии: . следовательно, квадратичная функция правее оси симметрии монотонно убывает, то есть, при . поэтому большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента. в частности, это происходит и на отрезке . почему этот отрезок важен, так потому, что вспоминаем, что t - это у нас не переменная сама по себе, а синус, который принимает значения именно из указанного отрезка. итак, на отрезке [-1,1] квадратный трёхчлен относительно t убывает, поэтому наименьшее его значение достигается в правом конце(в точке 1), а наибольшее - в левом(в точке -1). то есть, , где . то есть, . а тогда квадратный корень из этого выражения(в силу своей монотонности), даёт . теперь считаем, какие целые числа входят в полученную область значений. 0, 1, 2, 3 - и всё. их ровно 4.

а)у(-2)=2,5*(-2) - 0,5=-5,5

  у(-1)=2,5*(-1) - 0,5=-3

  у(0)=2,5*0 - 0,5=-0,5

  у(2)=2,5*2- 0,5=4,5

б)2,5х - 0,5=-7

  2,5х=-7+0,5

  2,5х=-6,5

  х=-6,5/2,5

  х=-2,6

  2,5х - 0,5=-0,5

  2,5х=-0,5+0,5

  2,5х=0

  х=0

 

2,5х - 0,5=9,5

  2,5х=9,5+0,5

  2,5х=10

  х=10/2,5

  х=4