Впрямоугольном треугольнике гипотенуза равна 18 м, а угол при вершине b равен 60°. найдите длину катета ас.

Т.к. угол при вершине в равен 60°, то угол при вершине а равен 30°. катет, лежащий против угла в 30° (здесь это вс) равен половине гипотенузы, следовательно, вс = 9 м. по теореме пифагора ав`2 = вс`2 + ас`2 18`2 = 9`2 + ас`2 ас`2 = 324 - 81 = 243 ас = √243 = √81 * √3 = 9√3 ответ: ас = 9√3 м

Обозначим стороны ав=ас=b, bc=a, биссектрису bl=d,  угол abl=альфа, тогда углы при основании треугольника abc=acb=(2альфа)угол при вершине bac=(180-4альфа)и альфа должен быть < 45 градусов, т.е. 2альфа должен быть < 90 градусов, т.к. в равнобедренном треугольнике угол при основании не может быть alb=(3альфа)по т.синусов: a*sin(2альфа) = b*sin(180-4альфа)отсюда a =  b*sin(180-4альфа) /  sin(2альфа) =  b*sin(4альфа) /  sin(2альфа) =  = 2*b*cos(2альфа)по т.синусов: al*sin(3альфа) = b*sin(альфа)по условию d  = bc - al = a -  b*sin(альфа) /  sin(3альфа) =  =  2*b*cos(2альфа)  -  b*sin(альфа) /  sin(3альфа) =  =  b* ( 2*cos(2альфа) - sin(альфа) /  sin(3альфа)  )для длины биссектрисы справедлива формула: d = 2*a*b*cos(альфа) / (a+b)отдельно запишем a+b =  2*b*cos(2альфа)  + b  =  b*(2*cos(2альфа)  + 1)d  = 2*2*b*cos(2альфа)*b*cos(альфа)  / (  b*(2*cos(2альфа)  + 1)  ) =  = 4*b*cos(2альфа)*cos(альфа)  /  (2*cos(2альфа)  + 1)если приравнять два получившихся равенства для биссектрисы d, то длина стороны  b  сократится и останется тригонометрическое равенство: sin(альфа) /  sin(3альфа)  =  =  2*cos(2альфа)  -  4*cos(2альфа)*cos(альфа)  /  (2*cos(2альфа)  + 1)после несложных преобразований можно получить равенство: 2*cos(2альфа)*(4*(cos(альфа))^2 - 1) = 1 + 4*cos(2альфа)*cos(альфа)это выражение можно к полному уравнению четвертой степени относительно косинуса альфа  одно из решений здесь   cos(альфа) = +- 1/2но этот угол не может быть в равнобедренном треугольнике (см. решать оставшееся кубическое уравнение, то единственным подходящим решением получается cos(альфа) =примерно= 0.94 (0.93969)это угол около 20 градусовтогда углы данного равнобедренного треугольника 40, 40, 100