Дана прямая треугольная призма abcc1b1a1. в основании треугольник abc, угол c = 90°. ba1 = 15, bc1 = 9, ab = 13. a) докажите, что треугольник a1c1b прямоугольный. б) найдите объем пирамиды с1а1ав.

а) для доказательства нужно найти сторону а1с1 и проверить треугольник на соответствие т.пифагора. 

призма прямая,  ⇒все её ребра перпендикулярны основаниям. 

• из ∆ аа1в по т.пифагора 

аа1=√(a1b²-ab²)=√56

bb1=cc1=√56

  • из ∆ с1св  по т.пифагора 

вс=√(bc1²-cc1*)=√(81-56)=√25=²

• стороны ∆ авс из троек .пифагора с отношением 5: 12: 13  ⇒ можно обойтись без вычислений. ас=12 ( проверьте по т.пифагора)

а1с1=ас=12

а1в²-с1в²=225-81=144  получаем а1с1=12,   к тому же отношение сторон вс1: а1с1: а1в=3: 4: 5 - отношение сторон прямоугольного (египетского) треугольника.  доказано.

–––––––––––––––––––––––––––––

б)формула объёма пирамиды 

v=s•h: 3

площадь основания ава1  равна половине площади большей боковой грани призмы авв1а1 (диагональ грани делит её пополам). 

s=aa1•ab: 2=√56•13=2√14•13: 2=√14•13

высотой пирамиды является перпендикуляр из вершины  с1    опущенный на плоскость основания. 

перпендикуляр  из вершины с1 на плоскость авв1а1, содержащую плоскость основания пирамиды,  лежит в плоскости верхнего основания призмы а1с1в1.

с1н=а1с1•sin∠a1. 

sin∠a1=c1b1: a1b1=5/13

c1h=12•5/13=60/13

на втором рисунке приложения призма для большей наглядности "уложена" на большую грань, содержащую основание пирамиды. 

Объяснение: