На доске написано 100 различных натуральных чисел,сумма этих чисел равна 5130 а)может ли в этих 100 числах быть число 240? б)можно ли исключить число 16? в)какое количество минимальных чисел кратных 16 в этих 100 числах

А) допустим, на доске написано 99 чисел из арифметической прогрессии, первый член которой равен 1, а последний - 99 (d=1). тогда их сумма будет равна:   это минимально возможная сумма 99 различных натуральных чисел. прибавим к этой сумме искомое число - 240, получим: 4950+240=5190, что больше 5130  ⇒ в этих 100 числах не может быть числа 240.б)  опять исследуем арифметическую прогрессию. на этот раз будет 2 разных последовательности: первая, начинающаяся с 1 и заканчивающаяся 15, и вторая - от 17 до 101. найдём суммы членов этих прогрессий: , что больше 5130  ⇒ исключить число 16 не получится. в)  допустим, что выписаны все числа арифметической прогрессии от 1 до 100 (при d=1). тогда их сумма будет равна: , что меньше суммы, данной в условии (5130). так как нас просят найти минимальное количество чисел, кратных 16 (в нашей последовательности это 16, 32, 48, 64, 80 и 96), попробуем заменять их на другие числа, следующие за сотней. выгоднее будет начинать замену с больших чисел.   попробуем вычеркнуть 48, 64, 80 и 96. тогда оставшаяся сумма будет равна 5050-48-64-80-96=4762. теперь постараемся заменить эти 4 числа минимально возможными, следующими за сотней: 4762+101+102+103+104=5172, что больше 5130. значит вычеркнуть 4 числа, кратных 16, не получится.   попробуем вычеркнуть 3 наибольших числа: 5050-64-80-96=4810. 4810+101+102+103=5116, что меньше 5130, значит мы можем заменить, например, число 103 на число 114 и получить в сумме 5130  ⇒ минимально возможное количество цифр кратных 16 в этих 100 числах равно 3. 

пусть х - кролики, тогда (35 - х) - куры. у кроликов 4х ног, у кур 2 * (35 - х) ног. всего 94 ноги. уравнение:

4х + 2 * (35 - х) = 94

4х + 70 - 2х = 94

4х - 2х = 94 - 70

2х = 24

х = 24 : 2

х = 12 - кролики

35 - 12 = 23 - куры

вiдповiдь: 12 кролiв и 23 курей у клiтцi.

проверка: 4 * 12 + 2 * 23 = 48 + 46 = 94 - всего ног.