Решить под б) ( 16 из егэ профиль) в прямоугольном треугольнике abc точки m и n — середины гипотенузы ab и катета bc соответственно. биссектриса угла bac пересекает прямую mn в точке l. а) докажите, что треугольники aml и blc подобны. б) найдите отношение площадей этих треугольников, если cosbac=7/25

А) прежде всего заметим, что и aml, и blc равнобедренные треугольники. aml имеет равные углы при вершине a и l (a - равен углу cal - так как al - биссектриса), а углы cal и alm равны так как al  пересекает два параллельные прямые ac и mn (средняя линия треугольника параллельна основанию). blc  имеет равные стороны, так как nl - его высота - перпендикулярная основанию и точка n делит основание на два равные части. нетрудно показать что углы при основаниях этих двух равнобедренных треугольников равны. во-первых, обратим внимание на то, что треугольник alb - прямоугольный (так как am=mb - по условию, am=ml - так как это стороны равнобедренного треугольника, то есть это треугольник вписанный в окружность, причем сторона ab - лежит на ее диаметре). углы cal и cbl равны так-как это углы пересечения сторон двух прямых углов. но mal = cal (биссектриса)  стало быть углы при основаниях равнобедренных треугольников aml и bcl равны, и эти треугольники подобны по равенству углов.  б) для того, чтобы найти отношение площадей достаточно найти соотношение боковых сторон. |am| = с/2. а вот с |bl| по сложнее - это = 0.5*a/cos(a/2), где a - угол при вершине a исходного треугольника. но cos(a/2) = корень((1+cos(a))/2). то есть |bl| = 0.5*a/корень((1+7/25)/2). если вспомнить, что a = c*sin(a) = c*корень(1-cos(a)*cos( то получаем |bl| = 0.5*c*корень(1-(7/25)*(7/25))/корень((1+7/25)/2). отношение площадей равно квадрату отношения сторон: saml/sblc = 0.5*(1+7/25)/(1-(7/25)*(7/25)) = 0.5*32*25/(25*25-7*7) = 400/576 = 25/36 или примерно 0.69444

Вравнобедренной трапеции углы при основаниях равны, значит отношение 37: 53 - отношение острого углов, прилежащих к боковой стороне. пусть х - коэффициент пропорциональности. ∠а = 37х, ∠в = 53х. сумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции, равна 180°. 37x + 53x = 180° 90x = 180° x = 2 ∠a = 37 · 2 = 74°