Мальчик загадал обыкновенную несократимую дробь. затем он записал её в виде бесконечной десятичной дроби следующим образом: 0,7 (23). чему равна дробь загаданная мальчиком?

Это будет 0,7 + 23/990, или 7/10 + 23/990 = (7*99+23) / 990 = (693+23) / 990 = 716 / 990, или 358 / 495

От числа,которое в периоде отнимаем число после запятой,но перед периодом.потом в знаменателе пишем 9 столько раз сколько цифр в периоде (23-7)\99=16\99

Сергий радонежский  сергий радонежский (в миру варфоломей) - святой, преподобный, величайший подвижник земли , преобразователь монашества в северной руси. происходил из знатного рода; родители его, кирилл и мария, принадлежали к ростовским боярам и жили в своём поместье недалеко от ростова, где и родился сергий в 1314 году (по другим - в 1319 году). сначала обучение его грамоте шло весьма неуспешно, но потом, терпению и труду, он успел ознакомиться со священным писанием и пристрастился к церкви и иноческому житию. около 1330 года родители сергия, доведённые до нищеты, должны были покинуть ростов и поселились в городе радонеже (54 версты от москвы). после их смерти сергий отправился в хотьково - покровский монастырь, где иночествовал его старший брат, стефан. стремясь к "строжайшему монашеству", к пустынножитию, он оставался здесь недолго и, убедив стефана, вместе с ним основал пустынь на берегу реки кончуры, посреди глухого радонежского бора, где и построил (около 1335 года) небольшую деревянную церковь во имя святой троицы, на месте которой стоит теперь соборный храм также во имя святой троицы. вскоре стефан покинул его; оставшись один, сергий принял в 1337 году иночество. года через два или три к нему стали стекаться иноки; образовалась обитель, и сергий был её вторым игуменом (первый - митрофан) и пресвитером (с 1354 года), подававшим всем пример своим смирением и трудолюбием. постепенно слава его росла: в обитель стали обращаться все, начиная от крестьян и кончая князьями; многие селились по соседству с ней, жертвовали ей своё имущество. сначала терпевшая во всём необходимом крайнюю нужду, пустынь обратилась в богатый монастырь. слава сергия дошла даже до царьграда: патриарх константинопольский филофей прислал ему с особым посольством крест, параманд, схиму и грамоту, в которой восхвалял его за добродетельное житие и давал совет ввести в монастыре строгое общинножитие. по этому совету и с благословения митрополита алексея , сергий ввёл в монастыре общинножительный устав, принятый потом во многих монастырях. высоко уважавший радонежского игумена митрополит алексей перед смертью уговаривал его быть ему преемником, но сергий решительно отказался. по словам одного современника, сергий " и кроткими словами" мог действовать на самые загрубелые и ожесточённые сердца; часто примирял враждующих между собой князей, уговаривая их подчиняться великому князю московскому (например, ростовского князя - в 1356 году, нижегородского - в 1365 году, рязанского олега и других), чему ко времени куликовской битвы почти все князья признали главенство дмитрия иоанновича. отправляясь на эту битву, последний, в сопровождении князей, бояр и воевод, поехал к сергию, чтобы с ним и получил от него благословение. благословляя его, сергий предрёк ему победу и спасение от смерти и отпустил в поход двух своих иноков, пересвета и ослябю ( приблизившись к дону, димитрий иоаннович , переходить ли ему реку или нет, и только по получении от сергия ободрительной грамоты, увещевавшей его как можно скорее напасть на татар, приступил к решительным действиям. после куликовской битвы великий князь стал относиться ещё с большим благоговением к радонежскому игумену и пригласил его в 1389 году скрепить духовное завещание, узаконивавшее новый порядок престолонаследия от отца к старшему сыну. в 1392 году, 25 сентября, сергий скончался, а через 30 лет были обретены нетленными его мощи и одежды; в 1452 году он был причислен к лику святых. кроме троице-сергиева монастыря, сергий основал ещё несколько обителей (благовещенскую и другие), а его ученики учредили до 40 монастырей, преимущественно в северной руси. см. "преподобный сергий радонежский. по поводу 500-летия со времени его блаженной кончины" ("христианское чтение", 1892, № 9 - 10); "жизнь и труды преподобного сергия радонежского" ("странник", 1892, № 9)