Решить уравнения: 7,42: (2х-4,72)=1,855 и (1,65-0,3х): 0,34=4,5 ,

1) находим длины рёбер пирамиды.

|ab|=√(xb−xa)²+(yb−ya)²+(zb−za)²) = √((−3−1)²+(−2−1)²+(−6−7)²) = √((−4)²+(−3)²+(−13)²) = √(16+9+169) = √194 ≈ 13,928.

|ac| = √((xc−xa)²+(yc−ya)²+(zc−za)²) = √((3−1)²+(−4−1)²+(−2−7)²) = √(2²+(−5)²+(−9)²) = √(4+25+81) = √110 ≈ 10,488.

|bc| = √((xc−xb)²+(yc−yb)²+(zc−zb)²) = √((3−(−3))²+(−4−(−2))²+(−2−(−6))²) = √(6²+(−2)²+4²) = √(36+4+16) = √56 =2√14 ≈ 7,483.

угол между ребрами ab и ac находим по по теореме косинусов:

∠(ab,ac) = arccos((|ab|²+|ac|²−|bc|²)/(2|ab|⋅|ac|)) = =arccos((194+110−56)/(2⋅√194*√110)) = arccos(248/2 13,928388*10,488088) = arccos0,8488373 = 0,557014 радиан   =   31,914563 градусов.

решение этой же векторным способом.

составим направляющие векторы рёбер:

ab = {xab; yab; zab}={xb−xa; yb−ya; zb−za}={−3−1; −2−1; −6−7}={−4; −3; −13},

ac = {xac; yac; zac}={xc−xa; yc−ya; zc−za}={3−1; −4−1; −2−7}={2; −5; −9}.

модули определены выше: |ab| = √194   |ac| = √110.

скалярное произведение равно:

ав х ас = (-4)*2 + (-3)*(-5) + (-13)*(-9) = -8 + 15 + 117 = 124.

cos(ав х ас) = 124/(√194*√110) = 0,8488373.

угол равен 31,914563 градусов.

2)   площадь грани abc определяем как половину модуля векторного произведения ав х ас.

произведение векторов      

a  ×  b  = {aybz  -  azby;   azbx  -  axbz;   axby  -  aybx}.

подставив данные, получаем ав х ас = x y z

                                                                      -38   -62 26 .

модуль равен √)² + (-62)² + 26²) = √(1444 + 3844 + 676 ) = √5964 .

площадь грани авс равна (1/2)√5964 ≈ 38,613469 кв.ед.

3) проекция ab на cд. вектор ав равен {−4; −3; −13} (определён ранее).

вектор сд равен {xd-xc, yd-yc, zd-zc} = (-3; 3; 4).

модуль сд равен √34 ≈ 5,8309519.  

решение:   пр ba =   a · b /|b| .

найдем скалярное произведение векторов:

a · b = ax · bx + ay · by + az · bz = (-4) · (-3) + (-3) · 3 + (-13) · 4 = 12 - 9 - 52 = -49 .

найдем модуль вектора:

|b| = √bx2 + by2 + bz2 = √(-3)2 + 32 + 42 = √9 + 9 + 16 = √34

пр ba = -49√34   ≈ -8,4034307.

4) объем v пирамиды abcд равен (1/6) смешанного произведения векторов (ав х ас) х ад.

вектор аd={xd-xa, yd-ya, zd-za} = (-1; -2; -5).

модуль равен √30 ≈ 5,477225.

                  x   y     z  

ab*ac -38 -62 26  

      ad -1 -2 -5  

произведение 38 + 124 - 130 =   32.

v = (1/6) * 32 = 5,3333 куб.ед.

6) уравнение высоты до пирамиды abcд.

эта высота - нормальный вектор плоскости авс через точку д.

он будет являться направляющим вектором искомой прямой. тогда её уравнение в каноническом виде запишется так.  

(x-дx)/a=(y-дy)/b=(z-дz)/c.

ав х ас = (-38;   -62;   26) .   д ( 0; -1; 2 )

получаем уравнение до: x/(-38) = (y + 2)/(-62) = (z - 2)/26.