Восновании пирамиды лежит треугольник со сторонами 4 см, 7 см и углом 30 между ними. найдите объем пирамиды, если ее высота равна 6 см.

Площадь   so  основания равна:   so = (1/2)*4*7*sin 30° = (1/2)*28*(1/2) = 7 см². о бъем v пирамиды равен: v = (1/3)so*h = (1/3)*7*6 = 14 см³.

А) прямые са1 и ав1 -скрещивающиеся прямые по определению: "скрещивающиеся прямые — прямые, которые не лежат в одной плоскости и не имеют общих точек". угол между скрещивающимися прямыми - это угол между любыми двумя пересекающимися прямыми, которые параллельны исходным скрещивающимся. проведем в1с2 параллельно а1с. тогда < ав1c2=90° (дано). соединим точки с и с2, в и с2 => четырехугольник асс2в - параллелограмм по построению. ас2 и св - его диагонали, которые точкой пересечения о делятся пополам. в прямоугольном треугольнике ав1с2 отрезок в1о - медиана и в1о=ао=ос2. треугольник овс2 - прямоугольный, так как < obc2=< acb (накрест лежащие при параллельных ас и вс2 и секущей вс). тогда по пифагору вс2²=ос2²-ов². в прямоугольном треугольнике ов1в (< oвв1=90°, так как призма прямая) по пифагору вв1²=ов1²-ов² или вв1²=ос2²-ов². следовательно, вв1=вс2 или аа1=ас, что и требовалось доказать. вариант с использованием теоремы о трех перпендикулярах: "если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна ее проекции, то она перпендикулярна наклонной. и обратно: если прямая на плоскости перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и проекции наклонной". проведем прямую "а" параллельно прямой а1с. тогда ав1 перпендикулярна этой прямой, так как она перпендикулярна а1с (дано). прямая ас1- проекция ав1 на плоскость грани аа1с1с. следовательно, ас1 перпендикулярна прямой "а" и перпендикулярна прямой а1с, параллельной прямой "а". итак, а1с перпендикулярна ас1, а это диагонали прямоугольника аа1с1с. прямоугольник с перпендикулярными диагоналями - квадрат. аа1=ас, что и требовалось доказать. б) расстоянием между скрещивающимися прямыми называется расстояние между одной из скрещивающихся прямых и плоскостью, проходящей через другую прямую параллельно первой. значит нам надо найти расстояние между прямой а1с и плоскостью ав1с2, которая параллельна прямой а1с по построению так как в1с2 параллельна а1с. расстояние между параллельными прямой и плоскостью – это расстояние от любой точки заданной прямой до заданной плоскости. решение затруднено построением искомого перпендикуляра. применим координатный (векторный) метод. привяжем начало координат к точке с. тогда имеем точки а(0; 6; 0), в1(3; 0; 6), а1(0; 6; 0) и с(0; 0; 0). вектор ав1{3-0; 0-6; 6-0)=ав1{3; -6; 6}, вектор а1с{0-0; 0-6; 0-6}=а1с{0; -6; -6}. уравнение прямой ав1: (х-0)/3=(у-6)/-6=(z-0)/6 или х/3=(у-6)/6=z/6. уравнение прямой а1с: (х-0)/0=(у-б)/-б=(z-0)/-б или х/0=(у-6)/-б=z/-б. даны скрещивающиеся прямые ав1: x/3=(y-6)/6=z/6. a1c: x/0=(y-6)/6=z/6. через прямую ab1 проводим плоскость, параллельную прямой a1c (находим уравнение этой плоскости). поскольку прямая ав1  должна лежать в плоскости , берем точку а, принадлежащую первой прямой, и её направляющий вектор: а(0; 6; 0), n1{3; 6; 6} (координаты направляющего вектора - знаменатели дробей из уравнения прямой). находим уравнение плоскости через определитель: |x-0  3  0|              x*| 6 -6| - (y-6)*| 3  0| +  z*|3  0| =0. |y-6  6 -6|                  |-6 -6|                |-6 -6|        |6 -6| |z-0 -6 -6| =0; -72x-(y-)+z(-18)=0  или 4x-y-z+6=0 - получили уравнение прямой с коэффициентами а=4, в=-1, с=-1, d=6. расстояние от прямой до плоскости (расстояние от любой точки прямой до этой плоскости) находим по формуле: d(с; α)=|a*xc+b*yc+c*zc+d|/√(a²+b²+c²), взяв точку с(0; 0; 0), принадлежащую прямой са1. d(c; α)=6/√(16+1+1)=6/3√2=2/√2=√2. ответ: искомое расстояние равно √2. способ решения (приложение 2): проведем в1с2 и ам  параллельно са1. см=сс1=са=6. мав1с2 - прямоугольник, так как < ab1c2=90° (дано), а в1с2 и ам  параллельно са1 по построению. авс2с - параллелограмм по построению. в1к - высота из прямого угла. мр=в1к (так как ав1с2м - прямоугольник). ср - высота из прямого угла (треугольник асо). сн - высота из прямого угла (треугольник асв). ав=√(ас²+св²)=√(36+9)=3√5. ав1=√(а1в1²+аа1²)=√(45+36)=9. в1с2=√(вв1²+с2в²)=√(36+36)=6√2. ас2=√(ав1²+в1с2²)=√(81+72)=3√17. в1к=рм=ав1*в1с2/ас2=9*6√2/3√17=18√2/√17. ао=ас2/2=(3√17)/2. ср=ас*со*/ао=6*1,5/((3√17)/2)=6/√17. сн=ср*см/рм=(6/√17)*6/(18√2/√17)=2/√2=√2. ответ: √2.