Впрямоугольном параллелепипеде авсда1в1с1д1 ав=аа1=а, ад=2а. на сребрах сс1 и ад взяты соответственно точки p и q - такие, что cp: cc1=aq: ad =1: 3, а на ребрах ав и а1в1 взяты соответственно точки r и v- середины этих ребер. найти расстояние между в1с1 и а) pq б)pr в)pv

Давайте, я всё таки для точки v покажу, как делать. пусть m на вв1, и bm = cp; то есть pm ii b1c1. прямая в1с1 ii плоскости pmv.  расстояние между прямыми pv и b1c1 - это расстояние от любой точки прямой b1c1 до плоскости pmv. проще всего найти расстояние от в1 до vm, то есть высоту к гипотенузе прямоугольного треугольника b1vm c катетами b1v =  a/2 и b1m =  2a/3; (к слову, это "египетский" треугольник, но это случайность, в двух других случаях ничего "египетского" нет : )  ) легко найти  vm = 5a/6; и нужное расстояние равно (a/2)*(2a/3)/(5a/6) = 2a/5; для точки r все так же просто. rm пересекает продолжение а1в1 в точке е, и легко найти что ве = а; (из подобия rmb и b1em); mb1 = 2a/3;   отсюда me = a√13/3; и высота в1ме равна a*(2a/3)/(a√13/3) = 2a/ √13; для точки q этим же способом легко найти ответ  2a/√10; я покажу, как это находится с векторно-координатного метода.  любая прямая полностью задается вектором вдоль неё и одной точкой, через которую она проходит.  с другой стороны, расстояние между не параллельными прямыми равно расстоянию между параллельными плоскостями, каждая из которых содержит одну из этих прямых (такая пара плоскостей всегда есть и всегда только одна, если прямые не параллельны и не пересекаются).  плоскость задается однозначно точкой, через которую она проходит и нормальным вектором (то есть вектором, перпендикулярным плоскости). если плоскости параллельны, у них - очевидно - один и тот же нормальный вектор. поэтому стоит такая - надо найти вектор, перпендикулярный направляющим векторам обеих прямых. такой вектор отлично известен - это векторное произведение направляющих векторов.  таким образом, нормальный вектор обеих параллельных плоскостей строится так - берутся две точки на одной прямой и на другой, строятся два вектора вдоль прямых, находится их векторное произведение и нормируется (то есть делится на свой модуль). получился единичный вектор, перпендикулярный обеим прямым - и обеим плоскостям, содержащим скрещивающиеся прямые. теперь, чтобы найти расстояние между двумя этими  плоскостями, достаточно взять любые две точки на разных плоскостях, построить вектор с началом в одной точке и концом в другой, и скалярно умножить на построенный единичный вектор (то есть найти проекцию отрезка, соединяющего две произвольные точки двух параллельных плоскостей на прямую, перпендикулярную обеим плоскостям).  выполнение этой программы действий для прямых в1с1 и pq  выглядит так. b1c1 = (2a,0,0); qp = (4a/3,a,a/3); векторное произведение b1c1x qp = (0,-1,3)*(2a^2/3); (я вынес общий множитель за скобки, так как для вычисления единичного вектора n =  b1c1x qp/i b1c1x qpi его можно просто отбросить.n = (0, -1/√10, 3/ √10);   теперь можно взять любой (еще раз - любой в смысле любой) вектор с началом на одной плоскости и концом на другой и скалярно умножить на n, получится ответ (знак при этом не имеет значения, нужна абсолютная величина).pb1 = (2a, 0, -2a/3); откуда сразу ответ 2a/ √10;

Треугольники нвд и авн - прямоугольные по определению, тогда нд=8(см) - пифагорова тройка, тогда ан=ад-нд=3(см) и по теореме пифагора в треуг. авн: ав=√(вн²+ан²)=√45(см), тогда найдем меньшее основание: вс=(вд²-ав²)/ад= 5(см) сама трапеция - авсд,  высота - вн, основания - вс, ад