Исследуйте функцию y=11x/16+x^2 и постройте её график

исследовать функцию f (x) = 11x/(16+x²) и построить ее график.

решение:

1. область определения функции - вся числовая ось, так как знаменатель не может быть равен нулю.

2. функция f (x) =  11x/(16+x²)  непрерывна на всей области определения. точек разрыва нет.

3. четность, нечетность, периодичность:

  f(–x) =  11*(–x)/(16+(–x)²)  = –11x(16+x²) ≠ f(x) 

  f(–x) =  11*(–x)/(16+(–x)²)  =  –(11x(16+x²))  = –f(x)

функция является четной. функция непериодическая.

4. точки пересечения с осями координат:

ox: y=0,  11x/(16+x²) = 0  ⇒ x=0. значит (0; 0) - точка пересечения с осью ox.

  oy: x = 0 ⇒ y = 0. значит (0; 0) - точка пересечения с осью oy.

5. промежутки монотонности и точки экстремума:

находим производную заданной функции.f′(x)=(11⋅x/(16+x² ))′= ((11⋅x)′⋅(16+x² )−11⋅x⋅(16+x² )′)/(16+x²)²= (11⋅(16+x² )−11⋅x⋅(x² )′)(16+x²)²= ((11⋅(16+x² )−22⋅x⋅x)/(16+x²)². ответ: f′(x)=(11⋅(16+x² )−22⋅x²) (16+x²)² = (11(16-x²))/(16+x²) ².приравниваем её нулю (достаточно числитель): 11(16-х²) = 0, 16 = х², х = +-4.

  x = 4, x = -4  критические точки.

интервалы возрастания и убывания функции: найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума: минимум функции в точке: x_{2} = -4 максимум функции в точке:   x_{2} = 4. где производная положительна - функция возрастает, где отрицательна - там убывает.  возрастает  на промежутках  [-4, 4] убывает  на промежутках  (-oo, -4] u [4, oo)

6.  найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение

\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0(вторая производная равняется нулю),корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:   \frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} =  вторая производная\frac{22 x}{\left(x^{2} + 16\right)^{2}} \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} + 16} - 3\right) = 0решаем это уравнениекорни этого уравненияx_{1} = 0x_{2} = - 4 \sqrt{3}x_{3} = 4 \sqrt{3}7.  интервалы выпуклости и вогнутости: найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов: вогнутая на промежутках

[-4*sqrt(3), 0] u [4*sqrt(3), oo)

выпуклая на промежутках

(-oo, -4*sqrt(3)] u [0, 4*sqrt(3)]

8. искомый график функции дан в приложении.

4х^+4х+1^=4х^-12х+9 4х^+4х+1-4х^+12х-9=0 16х-8=0 16х=8 х=1/2