На графике функции найти точки, в которых касательная параллельна оси абсцисс.

объяснение:

1) f(x) = √(4 - 5*x),   xo = 0

y = f'(xo)*(x - xo) + f(xo) - формула касательной.

находим первую производную - k - наклон касательной.

f'(xo) = f'(0) = - 5/4 = k

f(0) = 2

y = - 5/4*x + 2 - касательная - ответ.

2)

дано: y(x) = x³ -3*x² + 2

исследование.

1. область определения d(y) ∈ r,   х∈(-∞; +∞) - непрерывная , гладкая.

2. вертикальная асимптота - нет - нет разрывов.

3. наклонная асимптота - y = k*x+b.

k = lim(+∞) y(x)/x = +∞ - нет наклонной (горизонтальной) асимптоты.  

4. периода - нет - не тригонометрическая функция.

5. пересечение с осью oх.  

применим теорему безу. х₁ *х₂ *х₃ = 2

применим тригонометрическую формулу виета.

разложим многочлен на множители. y=(x+0,73)*(x-1)*(x-2,73)

нули функции: х₁ =-0,73, х₂ =1,   х₃ =2,73

6. интервалы знакопостоянства.

отрицательная - y(x)< 0 x∈(-∞; -0,73]u[1; 2,73]   положительная -y(x)> 0 x∈[-0,73; 1]u[2,73; +∞)

7. пересечение с осью oy. y(0) =   2

8. исследование на чётность.  

в полиноме есть и чётные и нечётные степени - функция общего вида.

y(-x) ≠ y(x) - не чётная. y(-x) ≠ -y(x),   функция ни чётная, ни нечётная.  

9. первая производная.     y'(x) =   3*x² -6*x = 0

корни y'(x)=0.     х₄ =0     х₅=2

производная отрицательна   между корнями - функция убывает.

10. локальные экстремумы.  

максимум - ymax(x₄=   0) =2.   минимум - ymin(x₅ =   2) =-2

11. интервалы возрастания и убывания.  

возрастает х∈(-∞; 0; ]u[2; +∞) , убывает - х∈[0; 2]

12. вторая производная - y"(x) = 6* x -6 = 0

корень производной - точка перегиба х₆=1

13. выпуклая “горка» х∈(-∞; х₆ = 1]

вогнутая – «ложка» х∈[х₆ = 1; +∞).

14. график в приложении.

3)

ymin(0) = -3,   ymax(2) = 9 - ответ.