Высота треугольной пирамиды равна 40 см, а высота каждой боковой грани, проведенная из вершины пирамиды, равна 41 см. а) докажите, что высота пирамиды проходит через цент окружности, вписанной в ее основание. б)найдите площадь основания пирамиды, если его периметр равен 42 см.

а) пусть мо - высота пирамиды, мк, мн и мр - высоты боковых граней.

мк = мн = мр = 41 см по условию,

∠мок = ∠мон = ∠мор = 90°, так как мо высота пирамиды,

мо - общий катет для треугольников мок, мон и мор, значит эти треугольники равны по гипотенузе и катету, следовательно

ок = он = ор.

мк⊥ав, ок - проекция наклонной мк на плоскость авс, значит

ок⊥ав по теореме, обратной теореме о трех перпендикулярах.

мн⊥вс, он - проекция наклонной мн на плоскость авс, значит

он⊥вс по теореме, обратной теореме о трех перпендикулярах.

аналогично, ор⊥ас.

тогда ок, он и ор - расстояния от точки о до соответствующих сторон.

так как отрезки ок, он и ор равны, то точка о равноудалена от сторон треугольника авс, значит это центр вписанной в треугольник окружности.

б)

рассмотрим треугольник мок:

по теореме пифагора

ок = √(мк² - мо²) = √(41² - 40²) = √((41 - 40)(41 + 40)) =

= √(1 · 81) = 9 см - радиус окружности, вписанной в треугольник авс.

sabc = pr, где р - полупериметр δавс.

sabc = 42/2 · 9 = 21 · 9 = 189 см²

Из условия мы получаем : вс - верхнее меньшее основание, равное 6, ad - нижнее большее основание, кот. надо найти х, ac- меньшая диаг. = 10, bd-большая диаг. = 17. => треугольник авс прямоугольный, т.к.трапеция прямоугольная. и тогда ав как катет этого треугольника по т. пифагора равен 8. а треугольник acd тоже и из того же - прямоугольный и ad тоже для него катет , кот. по т. пифагора равен 15. значит большее основание трапеции ad= x= 15(см).