Найдите трёхзначное число, сумма цифр которого равна 8, а сумма квадратов цифр делится на 11. в ответе укажите одно такое число.

abc

a + b + c = 8                         (1)

a² + b² + c² = 11x     x∈n       (2)

возведем обе части (1) в квадрат. получим:

(a + b + c)² = 64

a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ac = 64

a² + b² + c² = 64 - 2(ab + bc + ac).   тогда из (2):

64 - 2(ab + bc + ac) = 11x

так как левая часть четна при любых a, b и с ∈ n, то разделим ее на 2:

32 - (ab + ac + bc) = 11x

равенство выполняется в двух случаях: при х = 1 и х = 2, однако, сумма квадратов цифр числа, с суммой цифр, равной 8, не может равняться 11. следовательно х = 2. сумма квадратов цифр числа - 22 и само число:

332; 323; 233.

ответ: 332.

==============================

или так:

так как сумма цифр трехзначного числа равна 8, и, по условию, цифры могут повторяться, то максимальное число, удовлетворяющее первому условию, - 800. однако, второму условию это число не удовлетворяет, так как 64 не кратно 11.

цифры 0 в составе числа быть не может, так как две оставшиеся цифры должны быть или обе четные, или обе нечетные. сумма квадратов и в том, и в другом случае четна, что не соответствует условию 2.

так как 64 - максимально возможная сумма квадратов цифр для данного числа, а цифры 0 в составе числа быть не может, то максимально возможное число уменьшается до 611. сумма квадратов для этого числа - 38. следовательно, сумма квадратов для числа, удовлетворяющего второму условию, может быть 33 или 22.

33 не подходит, так как 611 имеет сумму квадратов, равную 38, а 521 - сумму квадратов, равную 30.

остается число 22. и исходное трехзначное число - 332; 323 или 233 с суммой квадратов цифр, равной 9 + 9 + 4 = 22

ответ: 332.