Через вершину a некоторого угла проведена окружность, пересекающая стороны угла в точках b и d, а его биссектрису в точке c. найти величину угла bad, если сумма длин отрезков ab и ad равна 6, а площадь четырехугольника abcd равна 3√3

окружность проведена через а, следовательно, а лежит на окружности. 

ав и аd - равные стороны вписанного угла ваd, поэтому его биссектриса ас проходит через центр окружности и  является её диаметром . 

∠авс=∠аdc=90°- опираются на диаметр. 

треугольники авс и аbd равны по катету и гипотенузе,  поэтому площадь каждого равна половине площади четырехугольника авсd - равна 1,5√3

площадь прямоугольного  треугольника  равна половине произведения его катетов. 

s ∆ авс=ав•bc: 2

bc=2s: ab=3√3): 3=√3

вс: ав=tg∠вас

tg∠bac=√3): 3=1: √3. это тангенс угла 30°. 

тогда, так как ∠вас=∠dac, угол ваd=60°               

* * * 

если а - центр окружности, результат будет тот же, но решение немного другим тогда ав=ас=ad=r

ab+ad=6  ab=ad=ac=6: 2=3⇒ r=3

ас - биссектриса.  ∠вас=∠dac⇒∆ abc=∆ adc  по 1 признаку равенства треугольников. 

s∆ вас=s∆dac= s abcd: 2

sin bac=2•sbac: ab²⇒

sin bac=3√3): 9=√3: 3=1/√3  - это синус 30°

тогда, т.к. ас биссектриса, угол ваd=60° это ответ.