Три окружности, попарно касающиеся друг друга внешним образом, имеют радиусы 2 см, 2 см, 1см. найдите радиусы окружностей, касающихся данных трех окружностей.

Если соединить центры окружностей, получится равнобедренный треугольник авс с основанием вс =  4 и боковыми сторонами ас = ав =3. центры обеих окружностей (не заданных, а которые надо найти)  лежат на оси симметрии этого треугольника, то есть на высоте к основанию ам, где м - середина вс. заранее неизвестно, различные это точки или нет. сразу замечу, что ам =  √5; 1. если окружность радиуса r с центром в точке о (лежащем на упомянутой высоте : ) )  касается внешне всех трех окружностей, то точки касания лежат на соответствующих линиях центров, то есть на прямых оа, ов и ос.  отсюда oa = r - 1; ob = oc = r - 2;     то есть в треугольнике авс  на высоте ам =  √5 надо найти точку о, такую, что оа = r - 1; ob = r - 2; и заодно найти r.  ясно, что мо = ам - оа =  √5 - (r - 1); ob = (r - 2); bm = 2; и mo^2 + mb^2 = ob^2; то есть (√5 + 1  - r)^2 + 2^2 = (r - 2)^2; это даже не квадратное уравнение - члены с r^2 сокращаются.  r = (√5 + 1)^2/(2*(√5 - 1)) =  (√5 + 1)^3/8 =  √5 + 2; интересно, что о лежит снаружи авс. 2. если окружность радиуса r с центром в точке о1 (лежащем на упомянутой высоте : )  )  касается внутренне всех трех окружностей, то точки касания лежат на соответствующих линиях центров, то есть на прямых о1а, о1в и о1с.  отсюда o1a = r + 1; o1b = o1c = r + 2;     то есть в треугольнике авс  на высоте ам =  √5 надо найти точку о1, такую, что о1а = r + 1; o1b = r + 2; и заодно найти r.  ясно, что  мо1 = ам - о1а =  √5 - (r + 1); o1b = (r + 2); bm = 2; и mo1^2 + mb^2 = o1b^2; то есть (√5 - 1  - r)^2 + 2^2 = (r + 2)^2; это опять таки  не квадратное уравнение.  r = (√5 - 1)^2/(2*(√5 + 1)) =  (√5 - 1)^3/8 =  √5 - 2; о1 лежит (конечно же) внутри авс, и  видно, что oa не равно о1а, то есть центры этих окружностей не . 

Не может быть треугольника со сторонами 9,9,20 так как 9+9 меньше 20. значит треугольник 20,20,9. основание 9 см