Две окружности касаются друг друга внешним образом в точке m. общая внешняя касательная к этим окружностям касается их в точках a и b, причем ma =8 ; mb = 6. определите радиусы окружностей.

Авот вам такое решение (уж и не знаю, как вы к нему отнесетесь : )) дополнительно я обозначу центры окружностей о1 и о2, и точку пересечения общей касательной в точке м с ав, как р.  легко увидеть, что угол амв прямой (доказать это есть много  способов, например так - o1a ii o2b, поэтому сумма углов ao1m и bo2m равна 180°, а угол мав равен половине угла ao1m, угол mba - половине угла mo2b, то есть их сумма 90°). кроме того, р - середина ав (все касательные из точки р равны между собой : )  ). то есть мр - медиана прямоугольного треугольника амв. поскольку это "египетский" (то есть подобный треугольнику 3,4,5)  треугольник с катетами 6 и 8,то   ав = 10, и мр = ав/2 = 5. по той же самой причине (сумма углов ao1m и bo2m равна 180°) треугольник о1ро2 тоже прямоугольный, так как точка р лежит на биссектрисах этих углов. более того, поскольку, например, угол ро1м равен половине угла ао1м, то есть равен углу мав, то треугольники мав и о1ро2 подобны. то есть о1ро2 - тоже "египетский" треугольник, подобный (3,4,5).  при этом медиана треугольника мав, то есть мр = 5; является высотой к гипотенузе  треугольника о1ро2, так как касательная  мр перпендикулярна линии центров о1о2. а радиусы о1м и о2м - это отрезки, на которые высота рм делит гипотенузу о1о2. итак, требуется найти такой "египетский" треугольник, у которого высота к гипотенузе равна 5. у обычного "египетского" треугольника высота равна 3*4/5 = 2,4;   а отрезки, на которые высота делит гипотенузу, равны 1,8 и 3,2; (уж посчитайте, если не знаете : ))  поэтому коэффициент подобия равен 5/2,4; а  искомые радиусы  о2м = 1,8*5/2,4 = 15/4 и o1m =  3,2*25/12 = 20/3; легко проверить, что о1м*о2м = 5^2;    

180° - 120⁰ = 60⁰ - угол с. 180° - 90⁰ - 60⁰ = - угол в. воспользуемся свойством прямоугольного треугольника, имеющего углы 30⁰ и 60⁰ (катет, противолежащий углу 30⁰, равен половине гипотенузы). пусть катет  ас, противолежащий углу 30⁰,  равен х, тогда гипотенуза ав равна 2х. так как ас + ав = 18, получаем уравнение: х + 2х = 18 3х = 18 х = 18 : 3 х = 6 (см) - ас. 18 - 6 = 12 (см) - ав. ответ: ас = 6 см, ав = 12 см.