Дан куб abcda1b1c1d1 с ребром 1. найдите расстояние от вершины а до плоскости а1вт, где т-середина ребра аd

Обычным методом (не координатным)  тут надо немного потрудиться : ) пирамида a1bta имеет объем v =  aa1*ab*at/6 = 1/12; если найти площадь треугольника a1tb, то и высота пирамиды к этой грани найдется : ). эту площадь легче всего искать так. пусть м - середина а1в =  √2, поскольку a1t = bt, то тм - высота а1вт к а1в. тм находится из треугольника мат, ат = 1/2; ma =√2/2; => мт =  √3/2;   площадь а1вт = s =  а1в*тм/2 =  √2*√3/4 =  √6/4; отсюда h = 3*v/s = (3/12)/(√6/4) = 1/ √6; для сравнения - координатный метод дает ответ сам собой . уравнение плоскости 2x+y+z =1 пишется сразу (это уравнение плоскости "в отрезках", как оси расположены - очевидно - ad это ось  x и так далее); ортогональный вектор (2,1,1) имеет норму √6; то есть уравнение плоскости имеет вид nr = 1/√6; где r = (x,y,z); единичный вектор нормали n = (2/√6, 1/√6, 1/√6); в правой части стоит искомое расстояние от начала координат - точки а (0,0,0) до плоскости.

Диагональ куба равна произведению его стороны на  √3. пусть b - диагональ куба,  a  - его сторона, тогда b=a√3; a=b/√3 v=a³=b³/(3√3)=3375/(3√3)=375√3 ответ: 375√3 см³.