Сколько целых неотрицательных решений имеет уравнение: 3x+4y=303x+4y=30?

№ 3:

сколько целых неотрицательных решений имеет уравнение: 3x+4y=30?

чтобы было побыстрее заметим, что 4у должно делиться на 3

у=0: 3х=30; х=10 - подходит

у=3: 3х+12=30; 3х=18; х=6 - подходит

у=6: 3х+24=30; 3х=6; х=2 - подходит

у=9: 3х+36=30; 3х=-6; х=-2 - не подходит (-2 не целое неотрицательное)

дальнейшие решения для х будет еще меньше

всего три решения

ответ: 3

начнем с одз:

3x+6 > 0 => x > -2

2x - 4 > 0 => x > 2. общее одз: x> 3

2x - 6 > 0 => x > 3

решение:

представим 2, как log1/2 (1/4), чтобы было удобнее считать. далее применяем свойства суммы и разности логарифмов, и неравенство сводится к обычному дробно-рациональному. и не забываем поменять знак на противоположный, потому что основание логарифма меньше 1.

log1/2 ( (3x+6)/(2x-4) ) < log1/2 ( 1/4*(2x-6) )

log1/2 t - убывающая функция, а значит знак меняем.

(3x+6)/(2x-4) > x/2 - 6/4

(3x + 6 -x² + 2x + 3x -6) / 2(x-2) > 0

x(8 - x) / 2(x-2) > 0

решение этого неравенства будет x ∈ ( - ∞; 0) ∪ ( 2; 8)

из одз следует, что х> 3, то ответ будет: x ∈ ( 3; 8)

ответ: (3; 8)