Основание пирамиды – прямоугольный треугольник с острым углом α. высота пирамиды равна h, а все двугранные углы при основании равны. точка высоты пирамиды равноудалена от ее вершины и стороны основания, причем перпендикуляр, проведенный из этой точки к стороне основания, образует с плоскостью угол β. найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

1. если построить все три треугольника, образованные высотой пирамиды, апофемой и её проекцией на основание, то это будут прямоугольные треугольники с равными острыми углами, поскольку грани равнонаклонены к основанию. поэтому равны все апофемы, и - главное - равны их проекции на основание.

то есть проекция вершины пирамиды - это точка, равноудаленная от сторон основания, то есть центр вписанной в основание окружности. 

2. в плоскости этого треугольника (можно взять любой из трех, они одинаковые) лежит и отрезок от точки на высоте до стороны основания, заданный в условии, - этот отрезок соединяет эту точку с вершиной апофемы, и образуется равнобедренный треугольник, внешний угол при вершине у которого равен  π/2 -  β (я считаю, что угол β - это угол между этим отрезком и плоскостью основания, в условии тут неточность - если задан угол с боковой гранью, то β' < => π/4 -  β/2  ). поэтому острые углы этого равнобедренного треугольника равны  π/4 -  β/2, причем один из них - это угол между апофемой и высотой пирамиды.

поэтому радиус вписанной в основание окружности равен 

r   = h*tg(π/4 -  β/2);

3. с другой стороны, катеты прямоугольного треугольника в основании равны

a = r*(1 + tg(α/2)); b =  r*(1 + ctg(α/2));  

откуда площадь основания 

s = r^2*(1 + tg(α/2))*(1 + ctg(α/2))/2 = r^2*(1 + 1/sin(α)) = h^2*(1 + 1/sin(α))*(tg(π/4 -  β/2))^2 =  h^2*(1 + 1/sin(α))*(1 - sin(β))/(1 + sin(β));

объем пирамиды равен 

v = s*h/3 = (h^3/3)*(1 + 1/sin(α))*(1 - sin(β))/(1 + sin(β));

Угол между плоскостями измеряется линейным углом, образованным перпендикулярами, проведенными из одной точки, принадлежащей общему ребру. построим секущую плоскость параллельную авс проходящую через точку d. угол между плоскостями авс и аdв1 равен углу между плоскостями def и adb1. линией пересечения этих плоскостей будет отрезок dk.  по условию к середина ef (т к d середина бокового ребра,    def параллельна авс и ав1 - диагональ прямоугольника аа1в1в), значит dk медиана правильного треугольника  def, dк перпендикулярна fe,   треугольник  аdв1   равнобедренный (ad=df)6   dk 2 медиана равнобедренного треугольника adb1,    dk перпендикулярно ав1. угол в1кf - искомый линейный угол между плоскостями. найдем его из треугольника fkb1. b1f=3, kf=1,5. ответ arctg 2