Дана трапеция abcd. окружность походит через точки a,b и c. и пересекает сторону ad в точке f. bf = 6*sqrt(2) , угол afb = 45 градусов. так же известно что cd = 6. найдите длину ad.

смешное условие : ).√

высота трапеции равна bf*sin(45°) = 6; поскольку это равно cd, то трапеция прямоугольная - сd перпендикулярно ad.

при этом фигура abcf - равнобедренная трапеция, симметричная относительно диаметра этой окружности, перпендикулярного основаниям ad и bc.

если провести перпендикуляр из точки b на ad - пусть это be, то фигура ebcd - прямоугольник, который также симметричен относительно этого диаметра окружности (перпендикулярного основаниям ad и bc) - просто потому, что это перпендикуляр к bc, проходящий через его середину.

поэтому отрезки ea и fd равны между собой, и ad = ef = bf*sin(45°) = 6

чтобы не было трудностей с "визуализацией", полезно сразу сообразить, что ad< bc, если точка f лежит между a и d. на самом деле конструировали "с конца" - взяли прямоугольник bedc (bc > eb), провели из точки b прямую под углом в 45° к bc до пересечения с ed в точке f, на расстоянии, равном fd, от точки e отложили точку а, и через четыре точки a,b,c,f лежащие в вершинах равнобедренной трапеции, провели окружность.

вариант решения.

сделаем рисунок. точку d временно не обозначаем. соедиим с и f. получим вписанную в окружность трапецию авсf, которая по свойству вписанной трапеции - равнобедренная. соединим а и с.вf=ас по свойству диагоналей равнобедренной трапеции, и угол саf =углу вfа=45°проведем се параллельно вf до пересечения с продолжением аf. угол сеа =вfа по свойству параллельных прямых вf и се и секущей ае.

получим равнобедренный прямоугольный треугольник асе с катетами, равными вf=6√2 , т.к. углы при основании ае равны 45°ае²=2(6√2)²=2*72=144ае=√144=12высота сн равнобедренного прямоугольного треугольника асе одновременно и медиана и равна половине ае=12: 2=6сн=6 и совпадает с сд=6. треугольник адс -прямоугольный и равнобедренный, т.к угол сна=сда=90°, а сад=45°ад=cд=6

sin a =1/4