Точка m (a; b) наудачу выбирается из квадрата с вершинами (–1; –1), (1; –1), (1; 1), (–1; 1). найти вероятность того, что корни уравнения x2 + ax + b = 0 окажутся действительными и положительными.

начнем рассуждать.

1) если а=0, то уравнение х2+b=0 при b< 0 имеет 2 корня, но они - разных знаков, при b=0 имеет 1 корень, при b> 0 корней не имеет. все эти условия нам не подходят. значит, а отлично от нуля.

2) далее, если a> 0, то ось симметрии параболы у=x2 + ax + b будет находиться слева от оси оу. тогда один из возможных корней заведомо будет отрицательным. нас это не устраивает. значит, a< 0.

3) если b< 0,  то точка пересечения параболы у=x2 + ax + b с осью оу  будет  находиться ниже нуля.тогда опять один из возможных корней будет отрицательным. а если b=0, то график параболы  у=x2 + ax + b проходит через (0; 0), т.е. корнем будет число 0. нас и это не устраивает. поэтому b> 0.

3) т.к.  m (a; b) наудачу выбирается из квадрата с вершинами (–1; –1), (1; –1), (1; 1), (–1; 1), то ограничим а и b условиями: -1< a< 0 и 0< b< 1. 

4) далее для существования двух корней уравнения  x2 + ax + b = 0 надо проверить, чтобы вершина параболы  у=x2 + ax + b лежала ниже оси ох.

последнее неравенство подтверждает то, что  -1< a< 0 и 0< b< 1. 

два условия   -1< a< 0 и 0< b< 1 описыват квадрат, площадь которого равна 1/4 площади квадрата  с вершинами (–1; –1), (1; –1), (1; 1), (–1; 1). значит, по правилу вероятности  вероятность того, что корни уравнения x2 + ax + b = 0 окажутся действительными и положительными, равна 1/4.