Внутри треугольника abc взята произвольная точка k и через нее проведены три прямые, параллельные сторонам треугольника abc. эти прямые делят треугольник abc на шесть частей, из которых три части являются треугольниками. площади этих треугольников равны: s1,s2,s3. вычислить площадь треугольника abc.

все три треугольника подобны исходному. предположим, что коэффициенты подобия этих треугольников x, y, z. то есть a1/a = b1/b = c1/c = x, a2/a = b2/b = c2/c = y,  a3/a = b3/b = c3/c = z. далее, легко видеть, что, например, a1 + a2 + a3 = a; то есть параллельные линии делят стороны на три отрезка, равных соответственным сторонам каждого из трех треугольников. 

поэтому x + y + z = 1;  

с другой стороны, если отношение сторон равно x, то отношение площадей равно x^2, то есть 

x =  √(s1/s); y =  √(s2/s); z =  √(s3/s);

поэтому 

√(s1/s) + √(s2/s) + √(s3/s) = 1;  

или

s = (√(s1) + √(s2) +√(s3))^2;

кстати, в порядке критики другого решения (принадлежащего перу  ученого  godzillamc : )  )  - из него получается, например, если выбрать в качестве точки одну из вершин, что s = 3s;  

другие части будут паралелограмы, которые имеют площади в 2 раза больше получившихся треугольников, получается плошать авс в 3 раза больше суммы площадей малых треугольников и равна s=3(s1+s2+s3)