Докажите что дробь ни при каких значениях переменной не принимает отрицательных значений

любое отрицательное число в чётной степени будет положительным.

минус, умноженный на минус, даёт знак "плюс" . 

рассмотрим детально знаменатель предложенной дроби:

x² - x + 1 = 0

это - квадратное уравнение. дискриминантом оно не решается, т.к. уже визуально можно определить, что дискриминант меньше ноля, а это значит, что решений нет. тогда просто подставим 0, -2 и 2 в уравнение:

0² - 0 + 1 = 0 - 0 + 1 = 1

(-2)² - (-2) + 1 = 4 + 2 + 1 = 7

2² - 2 + 1 = 4 - 2 + 1 = 3

хоть какое число подставить вместо "икс" - результат будет положителен, просто потому, что степень чётная и перед второй переменной стоит знак "минус". получается три варианта:

1. если подставить вместо "икс" отрицательное число - в знаменателе будет операция "сумма". и суммироваться будут все положительные числа, так как минус на минус = плюс.)

2. если подставить вместо "икс" положительное число - в знаменателе будет операция "разность" между переменными. но первая у нас имеет степень, к тому же чётную, а значит, что число, из которого вычитается второе, будет больше, чем второе. следовательно, результат всё равно будет положительным.

3. третий вариант - это если вместо переменной подставить 0 или 1. но даже в этом случае знаменатель окажется положительным, потому что 3-й член уравнения со знаком "плюс". а переменные уйдут, т.к. 0² и 1² равны самим себе, и между переменными стоит знак "минус".

*1.

(-2)² = +4 

4 - (-2) = 4 + 2 = +6

*2.

2² = +4

2² - 2 = 4 - 2 = +2

*3.

0² - 0 + 1 = 0 - 0 + 1 = +1

1² - 1 + 1 = 1 - 1 + 1 = 0 + 1 = +1

т.к. 5> 0, то требуется доказать, что x^2-x+1> 0

это кв. парабола ветви которой направлены вверх. достаточно доказать, что x^2-x+1≠0

решаем кв. уравнение: d=1-4=-3 уравнение решений не имеет, ветви параболы не пересекаются с осью х, значение

x^2-x+1 всегда положительное