Окно имеет форму прямоугольника, завершённого полукругом. периметр окна равен р.каковы должны быть размеры окна, чтобы оно пропускало наибольшее количество света?

  при заданном периметре следует найти наибольшую площадь проема окна. 

прямоугольник с наибольшей площадью при заданном периметре - квадрат.следовательно, окно должно иметь проем в виде квадрата с добавлением полукруга. 

радиус этого полукруга r,сторона аквадрата =d=2r.периметр оконного проема равен сумме трех сторон квадрата плюс длина полуокружности ( полукруга, венчающего оконный проем).р=πr+6r=r(π+6)=≈ 9,14rтаким образом, размеры окна: r=  ≈p: 9,14сторона квадрата a=2ra=  ≈р: 4,57

обозначим стороны прямоугольника за х и у.

радиус полукруга r = x/2

периметр окна

р = 2y+x+пи*r = 2y+x+пи*х/2 =2y+x(1+пи/2)

выразим y

  y = p/2-x(1/2+пи/4)

площадь окна

s = x*y + пиr^2/2 =x*y+пи*(x/2)^2/2 = x*y+пи*x^2/8

подставим y

s = x*(p/2-x(1/2+пи/4)) +пи*x^2/8 = (p/2)*x -x^2(1/2+пи/4-пи/8) =(p/2)*x-x^2(1/2 +пи/8)

находим максимум этой функции по х

производная

s' = p/2-x(1+пи/4)

приравниваем к нулю

    p/2-x(1+пи/4) = 0

    x(1+пи/4) = p/2

    x = p/(2+пи/2) =2p/(4+пи)

    у =  p/2-x(1/2+пи/4) =p/2- 2p(1/2+пи/4)/(4+пи) =p/2 -p(1+пи/2)/(4+пи) =

=p(4+пи-2-пи)/(2*(4+пи)) = p/(4+пи)