Построить треугольник, если известны две его высоты и медиана, проведенная к стороне, не содержащей основания известных высот.

смысл построения виден из рисунка. если треугольник авс (который надо построить по условию ) "достроить" до паралелограмма авсе (то есть ab ii ce, ac ii be), то перпендикуляры ке и ме   к сторонам ав и ас - суть заданные высоты.

при этом очевидно, что точки а, к, е и м лежат на окружности с центром в точке о (середина вс). 

поэтому порядок построения треугольника авс по заданным медиане m и высотам h1 и h2 такой. 

1. строится окружность диаметром ае = 2*m (то есть ао = m).

2. строятся две окружности с центром в точке е, радиусами h1 и h2. точки пересечения этих окружностей с противоположных сторон от ае - это точки к и м, то есть так находятся хорды ek = h1 и em = h2.   точки к и м соединяются с точкой а.

3. из точки е проводятся ec ii ak,   eb ii am. получается параллелограмм, в котором ае - диагональ. две другие вершины обозначаются в и с, диагональ вс пройдет через середину ае, то есть полученный треугольник авс имеет медиану ао = m   и высоты, равные ek = h1 и em = h2. 

что и требовалось.

сначала построй отрезок, который в два раза длинее медианны. из одного   конца отрезка строешь 2 окружности с радиусами, равными 2 известных высот. построив окружности, из другого конца отрезка проводишь к окружностям касательные.

получаешь 2 точки на окружности соединяешь их с точкой на отрезке, из которой проводила касательные.