применение производной для исследования функций. схема исследования ф-ций. 1. область определения ф-ции 2. четность, нечетность ф-ции 3. координаты точек пересечения графиков ф-ции с осью ох и осью оy 4. промежутки возрастания убывания ф-ции, экстремулы ф-ции. 5. промежутки выпуклости ф-ции 6. асимптоты графика 7. построение графика по этой схеме исследовать данное уравнение: y=x³-3x²+4

Дана функция  y=x³-3x²+4.1. область определения функции: х  ∈ (-∞,  ∞). 2. четность, нечетность функции  проверяем   с соотношений f = f(-x) и f = -f(-x). x^{3} - 3 x^{2} + 4 = - x^{3} - 3 x^{2} + 4. - нет. x^{3} - 3 x^{2} + 4 = - -1 x^{3} - - 3 x^{2} - 4. - нет. значит, функция  не является  ни чётной, ни нечётной. 3. координаты точек пересечения графиков функции с осью ох и осью оy.график функции пересекает ось x при f = 0 значит надо решить уравнение  x³ - 3 x² + 4 = 0. решаем это уравнение точки пересечения с осью x: аналитическое решение даёт 3 действительных корня (из них 2 одинаковых): х = 2 и х = -1. график пересекает ось y, когда x равняется 0: подставляем x = 0 в x³ - 3x² + 4. 0³ - 3*0² + 4. результат:   f(0) = 4. точка  (0, 4). 4. промежутки возрастания убывания функции, экстремумы функции.для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение \frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0  (производная равна нулю), и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции: \frac{d}{d x} f{\left (x \right )} =  первая производная  3 x^{2} - 6 x = 0. корни этого уравнения x_{1} = 0. x_{2} = 2. значит, экстремумы в точках: (0, 4) (2, 0) интервалы возрастания и убывания функции: найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума: минимумы функции в точках  x_{2} = 2. максимумы функции в точках  x_{2} = 0. убывает на промежутках  (-oo, 0] u [2, oo) возрастает на промежутках  [0, 2] 5. промежутки выпуклости функциинайдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение \frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0  (вторая производная равняется нулю),  корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:   \frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} =  вторая производная  6 \left(x - 1\right) = 0. корни этого уравнения  x_{1} = 1. интервалы выпуклости и вогнутости: найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов: вогнутая на промежутках  [1, oo). выпуклая на промежутках  (-oo, 1]. 6. асимптоты графика - не имеет.7. построение графика - дан в приложении.

2a-b=5 4a-2b = 2(2a - b) = 2*5=10