Вправильной треугольной пирамиде боковое ребро, равное b, наклонено к основанию под углом a. через вершину пирамиды параллельно стороне основания проведено сечение, наклоненное к плоскости основания под углом b. определить площадь сечения.

исходя из и рисунка 4  в приложении, найдем высоту данной пирамиды:

так как в основании пирамиды лежит правильный треугольник, найдем радиус его основания, как показано на рисунке 3 в приложении:

так как треугольник основания  правильный, найдем величину радиуса, как показано на рисунке 3, углы при основании прямоугольных треугольника будут равны, тогда длина стороны данного треугольника будет равна:

так как у правильной пирамиды ребра равны, найдем величину апофемы w, исходя из прямоугольного треугольника бокой грани:

так как проведенное сечение образует еще одну правильную пирамиду, с правильным треугольником в основании, как показано на рисунке 3, но полученная призма является наклонной, и высоты обеих призм , тогда можем найти высоту проведенную в сечении (обозначенную буквой g) исходя из рисунка 4:

тогда используя теорему синусов найдем угол g в том же треугольнике:

тогда зная углы g и b найдем величину угла t:

угол b задан в условии а угол g будет равен:

тогда угол t будет равен:

тогда исходя из теоремы синусов найдем длину стороны z:

как показано на рисунке 3 величина z характеризует разность высот обоих треугольников, тогда получаем:

где высота меньшего треугольника, а высота большего треугольника.

так как треугольники правильные, высота будет вычисляться по формуле:

получаем:

т.к:

получаем:

так как сечение состит из двух прямоугльных треугольников как показано на рисунке 2, тогда его площадь будет равна:

получаем:

ответ:

для начала замечу, что сечение может быть расположено как между высотой и основанием, так между высотой и ребром.

принцип решения один и тот же. 

  из вершины пирамиды проведем наклонную sh   под углом β  к плоскости  ее основания.

через н проведем прямую ке║ав

если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна самой плоскости

ав- не лежит в плоскости треугольника ske,   параллельна ке, лежащей в этой плоскости, следовательно,  плоскость ᐃ кsе║ав

для решения нужно найти высоту sн и основание ke  ᐃ кsе.

делать это будем по шагам. 

so=b*sin α

со=sc*cos α=b*cos α

sh=so: sin β = b*sin α: sin β

oh= so: tg β= b*sin α  :   tg β

ch=co+oh= b*cos α + b*sin α  :   tg β

так как ке║ав, треугольник ксе подобен равностороннему асв и также является равносторонним.

∠нес=60°

ce=ch: sin (60°)= (b*cos α + b*sin α: tg β)*2: √3

ke=ce

s ᐃske=sh*ke: 2

s ᐃske= 1/2)*(b*sin α: sin β)* (b*cos α + b*sin α: tg β)*2: √3

s ᐃske  =  (b*sin α: sin β)* (b*cos α + b*sin α: tg β) : √3 =

s ᐃske  = b² (sin α: sin β)*(cos α + sin α: tg β) : √3

cos a=√(1-sin² a)=√((1681-81)/1681)=40/41;

tg a=sin a/cos a=(9/41)/(40/41)=9/40;

ctg a=cos a/sin a=(40/41)/(9/40)=40/9=4 4/9.