6.в группе 10 студентов успешно занимаются . сколькими способами из них можно выбрать троих для участия в олимпиаде?

в равнобедренном треугольнике авс (ав=ас) угол а равен 100°, отрезок вd- биссектриса треугольника.  докажите, что вd+ad=bc 

сделаем рисунок.

∠авс=∠асв=(180°-100°): 2=40°

  проведем биссектрису см и отрезок мd. 

в  ∆ амс и ∆ аdв стороны  ав=ас по условию. 

угол при а - общий, углы авd=асм =40: 2=20°  как половины равных углов.

∆ амс = ∆ аdв по равной стороне и прилежащим к ней равным углам.  

следовательно, ам=аd, и  ∆ амd - равнобедренный.  

углы треугольников авс и амd  при их  основаниях равны, они  соответственные при пересечении двух прямых секущими, и поэтому   мd||вс (свойство), ⇒

  ∠ dмс=∠мсв как накрестлежащие при параллельных прямых и секущей. 

а т.к. см - биссектриса, то ∠ dсм=∠ мсd

  ∆ мdс - равнобедренный, мd=dс. 

  отложим на вс отрезок вк=вd  соединим d и к.  

∆ квd - равнобедренный по построению. 

угол квd=20°. следовательно,  углы при кd=по 80°

тогда угол скd=100° как смежный углу  dkb  . 

∠ кдс=180°-100°-40°=40° ⇒ ∆ скd - равнобедренный.  и равен треугольнику маd по стороне и прилежащим к ней углам. кс=аd

вс=вк+кс, кс=аd,  ⇒  вd+аd=вс, что и требовалось доказать.