Построить график функций с производной: f(x)=-x³+12x

исследовать функцию f (x) = 4x³–6x² и построить ее график.

решение:

1. область определения функции - вся числовая ось.

2. функция f (x) = 4x³–6x² непрерывна на всей области определения. точек разрыва нет.

3. четность, нечетность, периодичность:

график четной функции симметричен относительно оси оу, а нечетной — относительно начала координат о.

  f(–x) =  4(–x)³–6(–x)²  = –(4x³+6x²)  ≠ –f(x),

f(–x) =  4(–x)³3–6(–x)² = –(4x³+6x²) ≠ –f(x)

функция не является ни четной, ни нечетной. функция непериодическая.

4. точки пересечения с осями координат:

ox: y=0,  4x³–6x²=0,  2x²(2x–3)=0 ⇒ x=0, x=3/2. значит (0; 3/2),   - точки пересечения с осью ox.

  oy: x = 0 ⇒ y = 0. значит (0; 0) - точка пересечения с осью oy.

5. промежутки монотонности и точки экстремума:

y'=0 ⇒ 12x²–12x =0 ⇒ 12x(x–1) = 0 ⇒ x = 0, x = 1 - критические точки.

если производная положительна - функция возрастает, если производная отрицательна - функция убывает:

отрезок   -∞ < x < 0   функция возрастает,

отрезок 0 < x < 3/2     функция убывает,

отрезок 3/2 < x  <   ∞     функция возрастает.

7*. вычисление второй производной: у =4x³–6x², 

f '(x) = 12x² - 12x.  f ''(x) = 24x  - 12.

y''=0, 24x–12= 0, x = 12/24 = 1/2.

  8*. промежутки выпуклости и точки перегиба:

отрезок   -∞ < x < 1/2   график  функции  выпуклый  вверх,

точка перегиба  х  =  1/2,

отрезок 1/2< x < ∞   график  функции  выпуклый  вниз.

9. найдем значение функции в дополнительной точке: f(1/2) = 4*(1/2)³– 6(1/2)² = 4/8 -6/4  = (4-12) / 8 = -8/8 =  –1.

10. искомый график функции в приложении.

шпггнанквкевнкв

Пошаговое объяснение: