Ввыпуклом 6-угольнике все углы равны 120 градусов и 4 последовательные стороны имеют длины 4,5,5,6. найдите площадь 6-угольника.

обозначим вершины 6-угольника, начиная со стороны, равной 4:

ав=4, вс=cd=5, de=6, ef и fa не заданы

площадь 6-угольника можно вычислить как сумму площадей двух треугольников и s(6) = s(bcd) + s(abde) + s(aef)

рассмотрим треугольник bcd:

он равнобедренный, угол bcd=120 градусов, => два оставшихся угла по 30 градусов и высота, проведенная к основанию bd, = 2.5

основание bd = 2*(5cos30) = 5*v3

s(bcd) = 2.5*2.5*v3 = 6.25*v3

рассмотрим трапецию abde:  

углы abd и bde равны и составляют 90 градусов (как оставшиеся части углов 6-угольника 120-30=90)

s(abde) = ((4+6)/2) * bd = 25*v3

остался треугольник aef с неизвестными двумя сторонами и углом 120

третью его сторону ae можно найти как боковую сторону трапеции по т.пифагора 

ae^2 = 25*3+2*2 = 79

ae = v79

и два других угла в этом треугольнике тоже можно

если угол aed трапеции обозначим x, то можно записать какую-нибудь триг.функцию этого угла из прямоугольного треугольника с гипотенузой ae и катетом параллельным и равным bd: sinx = 5*v3 / v79

угол fea = 120-x

угол fae = 180-120-(120-x) = x-60

s(aef) = af*fe*sin(120) / 2 = af*fe*v3/4

по т.синусов можно записать: fe/sin(x-60) = af/sin(120-x) =  ae/sin(120) = 2*v79 / v3

отсюда:

fe =  2*v79*sin(x-60) / v3

af =  2*v79*sin(120-x) / v3

s(aef) = 79*sin(x-60)*sin(120-x) / v3

осталось произведение синусов выразить через известный

cosx = корень(1-(sinx)^2) = 2 / v79

sin(x-60) = sinx*cos60 - cosx*sin60 = (sinx - v3*cosx)/2 = 3*v3 / (2*v79)

sin(120-x) = sin120*cosx - cos120*sinx = (sinx + v3*cosx)/2 = 7*v3 / (2*v79)

s(aef) = 63 / (4*v3) = 21*v3 / 4

s(6) = 6.25*v3 + 25*v3 + 21*v3 / 4 = v3 * (25/4 + 25 + 21/4) = v3 * 36.5