Высоты остроугольного треугольника пересекаются в точке н. одна высота треугольника делится этой точкой пополам, вторая высота делится в отношении 2: 1, начиная от вершины. найти отношение, в котором точка н делит третью высоту.

Как ни странно, для решения таких важно максимально форму записи соотношений, которые получаются из условия. треугольник abc, высоты aa1; bb1; cc1; точка пересечения h; задано ah/ha1 = 1; bh/hb1 = 2; надо найти ch/hc1; теорема ван-обеля дает ac1/c1b + ab1/b1c = ah/ha1 = 1; bc1/c1a + ba1/a1c = bh/hb1 = 2; теорема чевы (без учета ориентированности, что тут не важно) дает (ac1/c1b)*(ba1/a1c)*(cb1/b1a) = 1; а найти надо ch/hc1 = cb1/b1a + ca1/a1b; вот теперь надо что-то делать, чтобы можно было с этим работать. пусть ac1/c1b = a; ba1/a1c = b; cb1/b1a = c; тогда вся эта абракадабра переписывается так a + 1/c = 1; 1/a + b = 2; abc = 1; и надо найти c + 1/b; теперь видно, что эту систему легко решить. из второго уравнения 1 + ab = 2a; => 1/c = 2a - 1; тогда из  первого получается 3a - 1 = 1; a =2/3; далее b = 1/2; c = 3; c + 1/b = 5 = ch/hc1; вы проверьте, мало ли, я тут "в пол глаза" решаю, мог и что-то не так сделать.

28 см.

Объяснение:

1. В прямоугольном тр-ке один угол 90 гр, второй по условию задачи 60 гр,значит

3 угол = 180-90-60 = 30 гр.

2. В прямоугольном тр-ке меньший катет, противолежащий углу в 30 гр равен половине гипотенузы.

Пусть катет - х

гипотенуза - 2х

Составим и решим уравнением:

х+2х = 42 см

3х = 42

х = 14 см - меньший катет

3. 2х = 14*2 = 28 см - гипотенуза

ответ - гипотенуза равна 28 см