Через середину к медианы вм треугольника авс через вершину а проведена прямая пересекающая сторону вс в точке п . найдите отношение площади четырехугольника кпсм и треугольника амк.

смысл таких всегда одинаковый - надо найти, в какой пропорции точка к делит ар, а точка р - сторону вс. оказывается, чтобы это определить, достаточно условий, что вм - медиана и к - её середина. как будет видно дальше, в этой достаточно найти кр/ак;

пусть mn ii bc, и точка n лежит на ар. тогда треугольники mnk и bkp равны, так как вк = км, и углы при этих сторонах равны. то есть nk = kp. при этом an = np, то есть кр = вр/4, а ak = bp*3/4; и кр/ак = 1/3;

этого уже достаточно, чтбы решить . дело в том, что отрезок ск делит треугольник аср на два треугольника акс и скр, отношение площадей их равно 3 (у них высота общая - расстояние от с до ар, поэтому площади относятся, как ак/кр). при этом отрезок км делит треугольник акс на два, равных по площади, так как м - середина вс.

то есть если площадь скр = s, то площадь акс равна 3s, площади акм и кмс равны 3s/2, площадь кpсm равна s + 3s/2 = 5s/2;

и отношение площади kpcm к площади амк = 5/3; решена.

теперь пусть pq ii bc, q лежит на вм. тогда треугольник pqk подобен треугольнику вмк. qk/km = кр/ак = 1/3; qk = km/3 = вм/6; qm = bm*(1/2 + 1/6) = bm*2/3; то есть bq = bm/3, и, соответственно, вр = вс/3;  

отсюда следует, что площади треугольников арв и арс относятся, как 1/2. это не имеет прямого отношения к , но - если хочется - позволяет найти площади всех треугольников авк, вкр, акм и четырехугольника крсм по отношению к площади авс. можете сами попробовать : )

решение:

авс/pqr=ав/pq

авс/pqr=12/16=3/4