Написать уравнение касательной и нормали s: z=y*sqrt x-2y^2-x+14y m(1; 0; -1)

перепишем уравнение z=y*√x-2y^2-x+14y в виде

f(x,y,z)=y*√x-2y^2-x+14y-z - это уравнение поверхности.

запишем известные формулы для уравнений касательной плоскости и плоскости нормали к поверхности в заданной точке (формулы записаны в частных производных, d - знак частной производной):

  уравнение касательной:

df/dx*(x-x₀)+df/dy*(y-y₀)+df/dz*(z-z₀)=0             (1)

  уравнение нормали:

(x-x₀)/(df/dx)=(y-y₀)/(df/dy)=(z-z₀)/(df/dz)             (2)

x₀=1;   y₀=0;   z₀=-1 - координаты т.  m(1; 0; -1).

т.е. все сводится к нахождению частных производных.

    1) df/dx=d(y*√x)/dx - d(2y^2)/dx - dx/dx + d(14y)/dx - dz/dx

      df/dx=y*d(√x)/dx - 0 - 1 + 0 - 0

      df/dx=y*(1/(2*√x)) - 1

      df/dx=y/(2*√x) - 1                     (3)                

      найдем df/dx в  т.  m(1; 0; -1). подставим x=1;   y=0;   z=-1  в (3):

    df/dx=0/(2*√1)-1 = -1               (4)

2)  df/dy=d(y*√x)/dy - d(2y^2)/dy - dx/dy + d(14y)/dy - dz/dy

      df/dy=(√x)*dy/dy - 2*d(y^2)/dy - 0 + 14*dy/dy - 0

      df/dy=(√x)*1 - 2*2y + 14*1

        df/dy=√x - 4y + 14

      найдем df/dy в  т.  m(1; 0; -1):

        df/dy=√1 - 4*0 + 14 = 15       (5)

3)   df/dz=d(y*√x)/dz - d(2y^2)/dz - dx/dz + d(14y)/dz - dz/dz

        df/dz=0 - 0 - 0 + 0 - 1= -1         (6) 

теперь подставим  (4),  (5),  (6) и  x₀=1;   y₀=0;   z₀=-1 - координаты т.  m(1; 0; -1) в (1):

-1*(x-1)+15*(y-0)-1*())=0

-x+1+15y-z-1=0

-x+15y-z=0 - уравнение касательной.

теперь подставим  (4),  (5),  (6) и  x₀=1;   y₀=0;   z₀=-1 - координаты т.  m(1; 0; -1) в (2):

(x-1)/(-1)=(y-0)/15=())/(-1)

(x-1)/(-1)=y/15=(z+1)/(-1) - уравнение нормали.

ответ:   -x+15y-z=0 - уравнение касательной

              (x-1)/(-1)=y/15=(z+1)/(-1) - уравнение нормали

давно не решал такие примеры, но так

у+4х=6

у=6-4х

Пошаговое объяснение: