Вправильной четырехугольной пирамиде мавсд с вершиной м стороны основания равны 3/2, а боковые ребра равны 4. точка к принадлежит ребру мв, причем мк: кв=2: 1. найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точки а и к параллельно вд

на самом   деле плоскость проходит не через с, а через b и n. на рисунке она правильно изображена. плоскость амс сечение пересекает по прямой, параллельной ас. отсюда сразу следует, что (если обозначить к точку пересечения ма и сечения), что поскольку kn ii ac, ак/кс = cn/nm = 1/2;

поэтому, во первых, kn = аc*2/3) (из подобия треугольников амс и mkn), и - во вторых, (если обозначить р - точку пересечения высоты пирамиды мо и сечения) мр/ро = 2/1, то есть р - точка пересечения медиан треугольника mbd. то есть прямая вр, лежащая в плоскости сечения - это медиана треугольника mbd. то есть сечение делит md пополам (надо еще обозначить q - середина md). 

легко видеть, что kn перпендикулярно плоскости mbd (обоснование! - самостоятельно), то есть kn перпендикулярно bq. таким образом, в четырехугольнике bkqn, который получается в сечении, диагонали kn и bq взаимно перпендикулярны.

площадь bkqn равна половине произведения диагоналей, s = kn*bq/2; kn = 2√2/3; осталось найти bq. 

bq - медиана в равнобедренном треугольнике bmd со сторонами bm = md =2; bd =  √2;

(2*bq)^2 = 2*(bd)^2 + md^2 = 8; bq =  √2; (занятно, что треугольник bqd подобен треугольнику mbd);

s =  √2*(2√2/3)/2 = 2/3.