:а)3^2x-1-3^2x+3^2x+3=237 b)5^2x-30*5^x+125=0 c) (1/36)^-10 корень x=2^5x*3^5x

3^( 2x - 1 ) - 3^2x + 3^( 2x + 3 ) = 237  3^2x * ( ( 1/3 ) - 1 + 27 ) = 237  3^2x = 237 : 26 1/3  3^2x = 237 : 79/3  3^2x = 9  3^2x = 3^2  2x = 2  x = 1  5^( 2x - 30 ) - 30*5^( x + 125 ) = 0  5^( 2x - 30 ) = 30*5^( x + 125 )  5 ^ ( 2x - 30 ) : 5 ^ ( x + 125 ) = 30  5 ^ ( 2x - 30 - x - 125 ) = 30  5 ^ ( x - 155 ) = 30  x - 155 = log₅ 30  x = ( log  ₅ 30 ) + 155  ( 1/36 ) ^ - 10√x = 2^5x * 3^ 5x  ( 6 ^ - 2 ) ^ - 10√x = 6 ^ 5x  6 ^ 20√x = 6 ^ 5x  20√x = 5x  √x = a  20a = 5a^2  20a - 5a^2 = 0  5a( 4 - a ) = 0  5a = 0 ==> a = 0  4 - a = 0 ==> a = 4  √ x = 0 ==> x = 0  √ x = 4 ; x = 16 

1. При каких значениях а уравнение sin ^2 x - (a+3) sin x + 3a = 0 не имеет решений ?

2. Решите уравнение cos ^2 x + cos 4x = a , если одно из его решений п/3

Участник Знаний

1. Квадратное уравнение не имеет решений, если его дискриминант отрицателен.

\sin^2x-(a+3)\sin x+3a=0\\\sin x=t,\;\sin^2x=t^2,\;-1\leq t\leq1\\t^2-(a+3)t+3a=0\\D=(-(a+3))^2-4\cdot1\cdot3a=(a+3)^2-12a=a^2-6a+9=(a-3)^2\\(a-3)^2

Последнее неравенство не имеет решений. Значит, исходное уравнение имеет решение (-ия) при любых а.

2.\;\cos^2x+\cos4x=a\\\cos4x=8\cos^4x-8\cos^2x+1\\\cos^2x+8\cos^4x-8\cos^2x+1=a\\8\cos^4x-7\cos^2x+(1-a)=0\\\cos^2x=t,\cos^4x=t^2,\;0\leq t\leq1\\8t^2-7t+(1-a)=0\\D=49-4\cdot8\cdot(1-a)=49-32+32a=17+32a\\t_{1,2}=\frac{7\pm\sqrt{17+32a}}{16}

Один из корней п/3, значит x=\frac\pi3\Rightarrow\cos x=\frac12\Rightarrow\cos^2x=t=\frac14

\frac{7\pm\sqrt{17+32a}}{16}=\frac14\Rightarrow\begin{cases}\frac{7+\sqrt{17+32a}}{16}=\frac14\\\frac{7-\sqrt{17+32a}}{16}=\frac14\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}{7+\sqrt{17+32a}}=4\\{7-\sqrt{17+32a}}=4\end{cases}\Rightarrow\\

\Rightarrow\begin{cases}\sqrt{17+32a}=-3\\\sqrt{17+32a}=3\end{cases}\Rightarrow 17+32a=9\Rightarrow32a=-8\Rightarrow a=-\frac14=-0,25\\t_1=\frac{7+\sqrt{17-32\cdot0,25}}{16}=\frac{7+\sqrt{9}}{16}=\frac{10}{16}=\frac58\\t_2=\frac{7-\sqrt{17-32\cdot0,25}}{16}=\frac{7-\sqrt{9}}{16}=\frac{4}{16}=\frac14\\\cos^2x=\frac14\Rightarrow\cos x=\frac12\Rightarrow x=\frac\pi3+2\pi n,\;n\in\mathbb{Z}\\\cos^2x=\frac58\Rightarrow\cos x=\sqrt{\frac58}\Rightarrow x=\arccos\left(\sqrt{\frac58}\right)+2\pi n,\;n\in\mathbb{Z}

Объяснение: