Точки а1, b1 и с1 симметричны центру i вписанной в треугольник авс окружности относительно его сторон вс, ас и ав соответственно. окружность, описанная около треугольника а1в1с1, проходит через точку а. найдите радиус окружности, описанной около треугольника авс, если вс = а.

в тр-ке аiс1имеем ai=c1i, значит он равнобедренный и угол ic1a=углу с1ai; в нем же ав - медиана, перпендикулярная стороне c1i, значит тр-к с1аi - тоже равнобедренный (углы ic1a=aic1). итак, в тр-ке аic1 все углы равны по 60.

в тр-ке авс аi - биссектриса, так как центр i вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис. значит угол ваi = iac и угол вас = 60. в тр-ке авс по теореме синусов 2r=bc/sina, то есть r = a/2sin60 = a/(2*√3/2) = a/√3;

о - центр окружности - точнее, обеих окружностей, заданных в (ясно, что точки а1 в1 с1 равноудалены от центра вписанной окружности, то есть окружность, вписанная в авс и окружность, описанная вокруг а1в1с1 - и проходящая через а - имеют общий центр).

в треугольнике ас1о стороны ос1 и оа равны, и - кроме того, медиана ав перпендикулярна стороне ос1. то есть ас1о -   равносторонний треугольник.

аналогично и ав1о - равносторонний треугольник, но уже и без того ясно, что угол вао = 30 градусам, а угол сав = 60 градусам.

отсюда по теореме синусов 2rsin(60°) = a; r = a/√3;