Исследуйте функцию и постройте ее график у=0,5х^4-4x^2

у=0,5х^4-4x^2   substitution   x²=u

f(x)=0,5u²-4u

0,5u²-4u=0

u(0,5u-4)=0

u₁=0   0,5u-4=0  

0,5=4

u=8

resubstitution x²=8

x=±√8   tochki peresichenija aksy x   p₁(0; 0)   p₂(√8; 0)   p₃(-√8; 0)

teper reshaem gde nahodjatsja extrema

f'(x)=2x³-8x=0

2x(x²-4)=0

2x=0

x₁=0     x²-4=0

            x²=4

          x₂,₃=±2

teper prowerjaem eti tochki na maximum ili na minimum, dlja etogo nam nuzhna 2 proizwodnaja

f''(x)=6x²-8=0

6×0-8=-8< 0 menshe nolja znachit maximum

6×2²-8=16> bolshe nolja znachit minimum

6×(-2)²-8=16> bolshe nolja znachit minimum

i eshe my delaem wywod chto parabala semetrichna k x-osi

teper reshaem znachenie y, dlja etogo wstawljaem 0, 2, -2   w  f(x)=0

f(x)=0,5×0⁴-4×0²=0   pmax(0; 0)

f(x)=0,5×2⁴-4×2²=-8   pmin(2; -8)

f(x)=0,5×(-2)⁴-4×(-2)²=8 pin(-2; 8)

teper reshaem tochku peregiba, dlja etogo nam nuzhen f''(x)=0

f''(x)=6x²-8=0

6x²=8

x²=4/3

x₁,₂=√4/3≈1,3333333

f(x)=0,5×(√4/3)⁴-4(√4/3)²=-40/9≈-4,444444     tochka peregiba p(√4/3; -40/9)

f(x)=0,5×(-√4/3)⁴-4(-√4/3)²=-40/9≈-4,444444     tochka peregiba p(√-4/3; -40/9)