Теорема птолемея с доказательством. альтернативные (нестандартные) доказательства. четкие и разборчивые рисунки обязательно. пример применения.

129

212

Посмотреть ответы 3

Ответы на вопрос:

dbdbbdns

Геометрия

4,8(51 оценок)

Строго говоря, теорема птолемея дает необходимое и достаточное условие того, что около четырехугольника можно описать окружность. но если честно, я ни разу не встречал , в которой пришлось бы использовать достаточность. то есть всегда бывает дано, что четырехугольник вписан в окружность, и отсюда делается соответствующий вывод. предлагаю в таком виде теорему и формулировать. теорема птолемея. если четырехугольник abcd вписан в окружность, то произведение диагоналей равно сумме произведений противоположных сторон ac·bd=ab·cd+ad·bc .меня всегда удивлял тот факт, что в этой теореме приходится перемножать противоположные стороны. как-то далеко друг от друга они расположены. вот если бы соседние перемножались, то никакого предубеждения у меня не возникало бы. это и дало толчок к моему доказательству. найдем площадь abcd двумя способами. во-первых, эта площадь равна половине произведения диагоналей на синус угла между ними - эта формула, как мне кажется, школьникам должна быть известна. доказывается она либо разбиением четырехугольника диагоналями на 4 треугольника, либо более красиво - рассматривая его как половину (по площади) параллелограмма, чьи стороны параллельны диагоналям четырехугольника и проходят через его вершины, если обозначить угол между диагоналями буквой ф, то s=(1/2)ac·bd·sin ф угол ф - это угол между ac и bd, а он, как известно из школьной программы, равен полусумме дуг ab и cd, высекаемых этими . через вписанные углы он выражается в виде суммы углов bca и cbd. запомним это. во-вторых, более или менее естественно попробовать сосчитать площадь abcd как сумму площадей двух треугольников, скажем abc и adc, но в этом случае мы будем получать произведения соседних сторон, а не противоположных. выйдем из положения не совсем обычным способом. отрежем от четырехугольника треугольник abc (останется нетронутым треугольник adc) , перевернем abc другой стороной и "приклеим" на старое место. если вы не любите "играть в бирюльки" и хотите " рассуждение", то вот оно. рассмотрите диаметр окружности, перпендикулярный ac, и рассмотрите точку b', симметричную точке b относительно этого диаметра. конечно, она снова лежит на окружности, при этом ab=cb'; bc=b'a. иными словами, мы получили четырехугольник ab'cd, площадь которого равна площади старого, с теми же сторонами, но теперь те стороны, которые были противоположными, стали соседними. разобьем четырехугольник ab'cd на два треугольника так, чтобы их сторонами были бывшие противоположные. тогда s_(abcd)=s_(ab'cd)=s_(ab'd)+s_(b'cd)= (1/2)ab'·adsin dab'+(1/2)b'c·cdsin b'cd во вписанном четырехугольнике, как известно, сумма противоположных углов равна 180°, значит синусы этих углов равны, поэтому s_(abcd)=(1/2)(ab'·ad+b'c·cd)sin dab'= (1/2)(bc·ad+ab·cd)sin (dac+cab')= (1/2)(bc·ad+ab·cd)sin (dbc+bca)=(1/2)(bc·ad+ab·cd)sin ф (углы dac и dbc опираются на одну дугу и поэтому равны, углы cab' и bca опираются на равные хорды b'c и ab и поэтому равны). сравнив две полученные формулы для площади abcd, получаем искомую формулу. пример на использование теоремы птолемея. четырехугольник abcd вписан в окружность, ab=1, ac=2, ad=6/5, ∠adc=90°. найти bd. решение. ∠adc=90°⇒∠abc=90°, то есть abcd разбит диагональю ac на два прямоугольных треугольника. с теоремы пифагора находим неизвестные катеты этих треугольников: bc=√3; cd=8/5. по теореме птолемея bd·ac=ab·cd+bc·ad; 2bd=8/5+6√3/5; bd=(4+3√3)/5 заканчивая сей опус, хочу извиниться за то, что не способен сейчас сделать чертеж - много дел запланировано на этот вечер. если кто-нибудь сделает мне его - все заработанные на этой

godmode3

Геометрия

4,4(76 оценок)

Cм. фото многие (если не все) формулы тригонометрии можно вывести исходя теоремы птоломея

Браснуев21

Геометрия

4,5(21 оценок)

Діагональ квадрата= діаметр діагональ^2= 4^2+4^2 радіус= діагональ/2 довжина= діагональ*3,14

Реши свою проблему, спроси otvet5GPT

Быстро
Мгновенный ответ на твой вопрос
Точно
Бот обладает знаниями во всех сферах
Бесплатно
Задай вопрос и получи ответ бесплатно

Задай свой вопрос

Популярно: Геометрия

Есть вопросы?

Как otvet5GPT работает?

otvet5GPT использует большую языковую модель вместе с базой данных GPT для обеспечения высококачественных образовательных результатов. otvet5GPT действует как доступный академический ресурс вне класса.
Сколько это стоит?

Проект находиться на стадии тестирования и все услуги бесплатны.
Могу ли я использовать otvet5GPT в школе?

Конечно! Нейросеть может помочь вам делать конспекты лекций, придумывать идеи в классе и многое другое!
В чем отличия от ChatGPT?

otvet5GPT черпает академические источники из собственной базы данных и предназначен специально для студентов. otvet5GPT также адаптируется к вашему стилю письма, предоставляя ряд образовательных инструментов, предназначенных для улучшения обучения.