Найдите предел последовательности {xn}, заданной следующим образом: x1=2, xn+1=1+1/xn. если предел последовательности равен a, укажите в ответе величину ⌊2a⌋, где ⌊x⌋ — целая часть числа xx (наибольшее целое число, не превосходящее x). если последовательность не сходится, укажите в ответе −1.

183

281

Посмотреть ответы 2

Ответы на вопрос:

Kseniya204

Алгебра

4,8(99 оценок)

Докажем, что все члены последовательности лежат в пределах [3/2; 2]. x_1 там лежит; пусть для некоторого n выполнено 3/2≤x_n≤2; тогда 1/2≤1/x_n≤2/3⇒3/2≤1+(1/x_n)≤5/3< 2⇒3/2≤x_(n+1)≤2; тем самым методом индукции утверждение доказано для всех членов последовательности. далее, оценим разность между соседними членами последовательности: |x_(n+1) - x_n|=|1+(1/x_n) - 1 - (1/x_(n-1))|=|x_(n-1) - x_n|/(x_n·x_(n-1))≤ |x_(n-1) - x_n|/(3/2)^2 отсюда следует сходимость последовательности. предел a последовательности теперь ищется элементарно. для этого нужно перейти к пределу в равенстве x_(n+1)=1+(1/x_n): a=1+(1/a); a^2-a-1=0; a=(1+√5)/2 (отрицательный корень отбросили, поскольку a> 0 [2a]=[1+√5]=3 ответ: 3

миша29112000

Алгебра

4,8(54 оценок)

//////////////////////////////////////

Реши свою проблему, спроси otvet5GPT

Быстро
Мгновенный ответ на твой вопрос
Точно
Бот обладает знаниями во всех сферах
Бесплатно
Задай вопрос и получи ответ бесплатно

Задай свой вопрос

Популярно: Алгебра

Есть вопросы?

Как otvet5GPT работает?

otvet5GPT использует большую языковую модель вместе с базой данных GPT для обеспечения высококачественных образовательных результатов. otvet5GPT действует как доступный академический ресурс вне класса.
Сколько это стоит?

Проект находиться на стадии тестирования и все услуги бесплатны.
Могу ли я использовать otvet5GPT в школе?

Конечно! Нейросеть может помочь вам делать конспекты лекций, придумывать идеи в классе и многое другое!
В чем отличия от ChatGPT?

otvet5GPT черпает академические источники из собственной базы данных и предназначен специально для студентов. otvet5GPT также адаптируется к вашему стилю письма, предоставляя ряд образовательных инструментов, предназначенных для улучшения обучения.