При каких значениях параметра q один из корней уравнения 4х квадрат - (3+2q)х + 2 =0 в 8 раз меньше другого? ?

сводится к теореме виета.

то, что данное уравнение является квадратным, я думаю, не вызывает сомнений. но нас смущает то, что при x² стоит 4, разделим почленно уравнение на неё(я буду писать по частям):

x² - (3+2q)/4 * x + 0.5 = 0

теперь воспользуемся теоремой виета. пусть x1 и x2 - корни. тогда по теореме виета, x1 + x2 = (3 + 2q) / 4, x1 * x2 = 0.5. учитывая условие , получаем, что x2/x1 = 8. таким образом, мы пришли к системе уравнений:

x1 + x2 = (3 + 2q) / 4

x1 * x2 = 0.5

x2/x1 = 8

теперь как решать будем систему. система с тремя уравнениями с тремя переменными - она имеет решения. решать по идее надо бы с метода гаусса, но здесь можно и проще - через пару минут напишу решение.

решаем систему способом подстановки. выразим из последнего уравнения x2:

x2 = 8x1

и подставим его во второе уравнение системы. решим полученное уравнение и найдём x1:

8x1² = 1/2

x1² = 1/16

x1 = 1/4 или  x1 = -1/4

теперь рассмотрим оба случая, когда x1 = 1/4  и когда x1 = -1/4

пусть x1 = 1/4, тогда последовательно находим x2 и q:

x2 = 8 * 1/4 = 2

(3 + 2q) / 4 = 2 + 1/4 = 9/4

знаменатели равны, дроби равны, значит опускаем числители и приравниваем их:

3 + 2q = 9

2q = 6

q = 3

первое значение параметра q мы нашли. но надо проверить, дейсвительно q = 3 нам подходит. сделаем это, корни мы тоже при этом значении параметра параллельно нашли, найдём отношение корней:

x1 = 1/4; x2 = 2

x2/x1 = 2 : 1/4 = 2 * 4 = 8 - да, q = 3 нам подходит.

теперь рассмотрим ту ситуацию, когда x1 = -1/4. аналогично,

x2 = 8 * (-1/4) = -2

(3 + 2q) / 4 = -1/4 - 2 = -9/4

3 + 2q = -9

2q = -12

q = -6

осуществим уже известную проверку, мало ли что. корни при этом значении параметра мы уже нашли из системы, значит проверяем:

x1 = -1/4; x2 = -2

x2/x1 = 8 - это случай нам тоже подходит

таким образом, при q = 3 и q = -6 отношение корней данного уравнения равно 8. выполнена.