Прямая касается двух окружностей с центрами о и р в точках а и в соответственно. через точку с, в которой эти окружности касаются друг друга, проведена их общая касательная, пересекающая прямую ав в точке м. найдите рм, если ав = 8 и уголсом=а.

эта проще, чем кажется.

1. вм = мс и ма = мс (по известному свойству касательных, проведенных из одной точки. дальше я очевидные вещи просто буду констатировать - но это не значит, что вам не надо их обосновывать).

таким образом, мс = ав/2.

2. рм - биссектриса угла вмс, и мо - биссектриса угла сма. в сумме эти углы составляют 180 градусов, поэтому сумма углов рмс и смо равна 90 градусов. то есть треугольник рмо - прямоугольный.

3. конечно, мс - высота к гипотенузе в этом треугольнике, и угол рмс = угол сом = а.

4. отсюда рм = мс/cos(а) = ab/(2*cos(a));

5. это всё : )

между прочим, треугольник авс тоже прямоугольный : не хотите доказать?

это я так, для себя больше. 

тут есть способ, который сразу напрашивается - угол всм равен половине угла врс, а угол асм - половине угла аос, и углы врс и аос в сумме равны 180 градусов. 

правильное решение, но есть более простое : ) как я уже упоминал ,точки а, в и с равноудалены от точки м, то есть если построить окружность на ав, как на диаметре, то угол вса будет вписанным углом, на него опирающимся. значит, он прямой.