Решение : высоты остроугольного треугольника авс, проведенные из вершин в и с, продолжили до пересечения с описанной окружностью в точках в1 и с1. оказалось, что в1с1 проходят черес центр описанной окружности. найдите угол вас

Хорошая . докажем сначала теорему (так захотелось назвать этот простенький, но важный   факт, который уже много раз мне решать запутанные ). теорема. если высоту bd остроугольного треугольника abc продолжить до пересечения с описанной окружностью в точке b_1, а точку пересечения высот обозначить буквой h, то hd=db_1. иными словами, точка, симметричная ортоцентру h (то есть точке пересечения высот) относительно стороны треугольника, лежит на описанной окружности. кстати, верна еще одна теорема (которая сейчас нам не понадобится, поэтому ее я доказывать не буду; однако серьезный человек постарается доказать ее самостоятельно): точка, симметричная ортоцентру относительно середины  стороны треугольника, лежит на описанной окружности. переходим к доказательству теоремы. как это  часто бывает в , связанных с окружностью, доказывать мы будем не равенство отрезков, а равенство углов. итак,  ∠bb_1c=∠bac=α как вписанные и опирающиеся на одну дугу⇒∠ach=90°-α⇒∠chd=α⇒δhcb_1 равнобедренный, ch=cb_1, hd=db_1 (так как высота в равнобедренном треугольнике является и медианой),  ∠hcd=∠b_1cd. уф, вроде бы все,  что только можно, мы написали. одно из выписанных равенств и записано в теореме. дальше можно идти разными путями, даже никак не выберу, на каком остановиться. то ли воспользоваться подобием треугольников abc и ade (d - основание высоты cd)  с коэффициентом подобия cos  α (но ведь этим нельзя пользоваться без то ли пойти другим путем. ладно, пошли другим. по условию b_1c_1 - диаметр  ⇒∠c_1bb_1 прямой как вписанный и опирающийся на диаметр). по доказанной теореме  ∠c_1ba=∠b_1ba, а в сумме они 90°⇒каждый из них равен 45°. но  ∠bac=∠abc_1 как внутренние накрест лежащие при пересечении параллельных прямых ac и c_1b прямой ab ( объясняю для тех, кто, как принято сейчас говорить, "не въехал": ac⊥bd, так как bd - высота, c_1b⊥bb_1 по доказанному - помните, что угол c_1bb_1 прямой как опирающийся на диаметр? а две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны)  ⇒  ∠bac= 45° ответ: 45° ps специалисты, знающие подобие  δbac и dea с коэффициентом cos  α, приходят к ответу еще быстрее: de = r окружности, так как de является средней линией  δb_1hc_1 с основанием, равным диаметру окружности; de/bc=cos  α; bc=2rsin  α (второе равенство является теоремой синусов)⇒ 2sinα·cos  α=1; sin 2α=1; 2α=π/2;   α=π/4 за внимание

20+20+20+20=80 сантиметров