Математика: Решить коши y -2y +y=sinx; y(0)=0 , y (0)=1

илья1862

30.06.2021 05:26

Математика

Есть ответ 👍

Решить коши y''-2y'+y=sinx; y(0)=0 , y'(0)=1

254

445

Посмотреть ответы 2

Ответы на вопрос:

Demix485

Математика

4,6(27 оценок)

решение: решаем линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами:

y''-2y'+y=0 (*)

пишем характеристическое уравнение t^2-t-1=0, решаем его:

d=1^2+4*1=5

t1=(1+корень(5)) \2

t2=(1-корень(5)) \2

характерисическое решение имеет два корня =(1+корень(5)) \2 кратности 1 и (1-корень(5)) \2 кратности 1, поэтому общее решения уравнения (*) имеет вид:

y=c1 * e^((1+корень(5)) \2)*x ) + c2* e^((1-корень(5)) \2)*x ) .

правая часть исходного уравнения имеет вид sinx, гамма равно альфа+бэта*i=1 – (1 не есть корнем характеристического уравнения) , поэтому частное решение уравнения

y''-2y'+y=sinx (**) ищем методом неопределенных коэффициентов в виде

y=c*cos x+d*sinx

y’=-c*sin x+ d*cos x

y’’=-c*cos x-d*sin x. подставляем функцию и ее производные в (**), получим

-c*cos x-d*sin x-2*(-c*sin x+ d*cos x)+ c*cos x+d*sinx= sinx, или после подобных членов:

2с*sin x-2d*cos x=sin x. приравниваем соответствующие коэффициенты получаем систему:

2с=1

-2d=0

откуда c=1\2,d=0.

таким образом частное решение имеет вид:

y=1\2*cos x.

общее решение исходного уравенения имеет вид y=c1 * e^((1+корень(5)) \2)*x ) + c2* e^((1-корень(5)) \2)*x )+ 1\2*cos x.

(производная равна y'=c1*((1+корень(5)) \2) * e^((1+корень(5)) \2)*x ) + c2*((1-корень(5)) \2)* e^((1-корень(5)) \2)*x )-1\2*sin x.)

используя условия y(0)=0 , y'(0)=1, щем решение коши:

0=с1* e^((1+корень(5)) \2)*0 ) + c2* e^((1-корень(5)) \2)*0 )+ 1\2*cos 0=с1+с2+1\2.

1= c1*((1+корень(5)) \2) * e^((1+корень(5)) \2)*0 ) + c2*((1-корень(5)) \2)* e^((1-корень(5)) \2)*0 )-1\2*sin 0= c1*((1+корень(5)) \2)+ c2*((1-корень(5)) \2).

0= с1+с2+1\2.

1= c1*((1+корень(5)) \2)+ c2*((1-корень(5)) \2).

c1=-1\2-c2

1=(-1\2-c2)*((1+корень(5)) \2)+ c2*((1-корень(5)) \2)= (-1-корень(5)) \4+c2*-корень(5)) \2)+(1-корень(5)) \2)= (-1-корень(5)) \4-c2*корень(5).

c2=(-5-5*корень(5))\4*корень(5)\5=(-1-корень(5))\4

с1=-1\2-c2=(-1+корень(5))\20. таким образом решением коши есть функция

y= +корень(5))\4) * e^((1-корень(5)) \2)*x ) + (-1-корень(5))\4)* e^((1-корень(5)) \2)*x )

+ 1\2*cos x.

ответ: y= +корень(5))\4) * e^((1-корень(5)) \2)*x ) + (-1-корень(5))\4)* e^((1-корень(5)) \2)*x )

+ 1\2*cos x.

Джерьяна

Математика

4,7(3 оценок)

Рялчлсросгчшдыдялылбвды

Реши свою проблему, спроси otvet5GPT

Быстро
Мгновенный ответ на твой вопрос
Точно
Бот обладает знаниями во всех сферах
Бесплатно
Задай вопрос и получи ответ бесплатно

Задай свой вопрос

Популярно: Математика

Есть вопросы?

Как otvet5GPT работает?

otvet5GPT использует большую языковую модель вместе с базой данных GPT для обеспечения высококачественных образовательных результатов. otvet5GPT действует как доступный академический ресурс вне класса.
Сколько это стоит?

Проект находиться на стадии тестирования и все услуги бесплатны.
Могу ли я использовать otvet5GPT в школе?

Конечно! Нейросеть может помочь вам делать конспекты лекций, придумывать идеи в классе и многое другое!
В чем отличия от ChatGPT?

otvet5GPT черпает академические источники из собственной базы данных и предназначен специально для студентов. otvet5GPT также адаптируется к вашему стилю письма, предоставляя ряд образовательных инструментов, предназначенных для улучшения обучения.