На плоскости отметили 2016 точек так, что среди каждых трех из них найдутся две точки, расстояние между которыми меньше 1см. докажите , что найдется круг радиуса 1см, внутри которого содержится не меньше 1008 точек.

Докажем методом мат. индукции. пусть имеется 2х точек. требуется доказать, что найдётся круг, содержащий не менее х из них. 1) начальное значение х=2, то есть 4 точки. по условию "среди каждых трех из них найдутся две точки, расстояние между которыми меньше 1см." значит круг, содержащий две точки существует. 2) предположим, что условие выполняется при натуральном х, и докажем его для (х+1). теперь точек сперва было 2х - из них х в требуемом круге, а стало 2(х+1), то есть добавилось две. рассмотрим эти две точки и третью из круга . из условия "" среди каждых трех из них найдутся " хотя бы одна из двух добавленных точек должна войти в круг. таким образом в круге будет содержаться (х+1) точка, что и требовалось доказать. 3) мы доказали теорему для любого х не меньше 2. поэтому она справедлива и для х=1008, то есть 2016 точек.

в втором и в третем классе по 34. в первом классе 17