На гипотенузу ab прямоугольного треугольника abc опустили высоту ch. из точки h на катеты опустили перпендикуляры hk и he . a) доказать что точки a, b, k, e лежат на одной окружности. б) найти радиус этой окружности , если ab=12, ch=5.

А) если точки а, к, е и в лежат на одной окружности, то четырёхугольник акев - вписанный. в нём  ∠а+∠е=∠к+∠в. сн⊥ав, значит тр-ки авс, асн и свн подобны. в тр-ке асн нк⊥ ас, значит тр-ки асн и нск подобны. ксен - прямоугольник, значит тр-ки нск и кен равны. обозначим равные углы на рисунке. сразу видно, что в четырёхугольнике акев  ∠а+∠е=∠к+∠в, значит он вписан в окружность. доказано. б) пусть ан=х, вн=ав-х=12-х. сн²=ан·вн, 25=х(12-х), -х²+12х-25=0, х₁=6-√11, х₂=6+√11. ан=6-√11, вн=6+√11. в тр-ке асн ас²=сн²+ан²=25+(6-√11)²≈32.2, ас≈5.7. нк=ан·сн/ас=(6-√11)·5/5.7≈2.4, се=нк, в тр-ке асе ае=√(ас²+се²)=√(32.2+2.4²)≈6.14, в тр-ке авс sinb=ас/ав=5.7/12≈0.47, в тр-ке вае ае/sinb=2r  ⇒ r=ае/2sinb=6.14/(2·0.47)=6.5 - это ответ. на самом деле, радиус окружности, описанной вокруг любого из треугольников, образованных из вершин четырёхугольника акев, равен радиусу описанной окружности вокруг самого четырёхугольника.

Cosa=ac: ab cosa=7: 25 cosa=0.35