Регистрация Спросить otvet5GPT
HuKuTKa228
20.02.2020 04:21
Алгебра
Есть ответ 👍

Известно, что если сумма каких-либо трёх натуральных чисел делится на nn, то и сумма одиннадцатых степеней этих же чисел делится на nn. найдите наибольшее возможное натуральное значение nn.

125
155
Посмотреть ответы 2

Ответы на вопрос:

komissarova5310
komissarova5310
4,4(6 оценок)
Если условие верно для всех натуральных чисел, то и для целых тоже: это следует, например, из формулы бинома ньютона, (np+r)^11 дает такой же остаток при делении на n, что и r^11. прибавляя нужное количество n, из любого отрицательное числа можно сделать положительное, и при этом делимость не нарушится. применим утверждение из условия на разных числах. 2 + (-1) +  (-1) = 0 делится на n 2^11 - 1^11 - 1^11 = 2 * 3 * 11 * 31 - тоже должно делиться на n 3 +  (-2) +  (-1) = 0 делится на n 3^11 - 2^11 - 1^11 = 2 * 3 * 7 * 11 * 379 - тоже должно делиться на n. из примеров следует, что максимальное возможное значение n равно 2 * 3 * 11 = 66. докажем, что 66 подходит. рассмотрим разность x^11 - x. докажем, что при целых x она делится на 66. x^11 - x = x (x^10 - 1) = x (x^5 - 1)(x^5 + 1) * делимость на 2: сомножители x, x^5 - 1 разной чётности, поэтому среди них одно чётное, второе нечётное. значит. произведение делится на 2. * делимость на 3: заметим, что x^5 дает такой же остаток от деления на 3, что и x (это можно проверить только для чисел 1, 0, -1). значит, всё произведение даёт такой же остаток, что и x (x - 1)(x + 1). это произведение трёх последовательных чисел. среди них обязательно найдётся делящееся на 3, тогда всё произведение делится на 3. * делимость на 11 гарантирует малая теорема ферма (если p - простое число, то для любого целого a число a^p - a делится на p). итак, разность делится на 2, 3, 11, тогда и на 2 * 3 * 11 = 66. осталось заметить, что если a + b + c делится на 66, то и a^11 + b^11 + c^11 делится на 66, так как (a^11 + b^11 + c^11) - (a + b + c) = (a^11 - a) + (b^11 - b) + (c^11 - c) делится на 66, поскольку каждое слагаемое делится на 66. ответ. n = 66.
zroslama
zroslama
4,6(89 оценок)
4+6. 2. 1 = = -4*3. -12. -6

Реши свою проблему, спроси otvet5GPT

  • Быстро
    Мгновенный ответ на твой вопрос
  • Точно
    Бот обладает знаниями во всех сферах
  • Бесплатно
    Задай вопрос и получи ответ бесплатно

Популярно: Алгебра

Caktus Image

Есть вопросы?

  • Как otvet5GPT работает?

    otvet5GPT использует большую языковую модель вместе с базой данных GPT для обеспечения высококачественных образовательных результатов. otvet5GPT действует как доступный академический ресурс вне класса.

  • Сколько это стоит?

    Проект находиться на стадии тестирования и все услуги бесплатны.

  • Могу ли я использовать otvet5GPT в школе?

    Конечно! Нейросеть может помочь вам делать конспекты лекций, придумывать идеи в классе и многое другое!

  • В чем отличия от ChatGPT?

    otvet5GPT черпает академические источники из собственной базы данных и предназначен специально для студентов. otvet5GPT также адаптируется к вашему стилю письма, предоставляя ряд образовательных инструментов, предназначенных для улучшения обучения.

Подпишись на наш телеграмм канал

GTP TOP NEWS