Квадрат целого числа имеет вид (оканчивается цифрами 0 и 9). докажите, что третья справа цифра – четная.

Квадрат нашего числа можно записать в виде n² = 100k+9, где k - натуральное. нам нужно доказать, что последняя цифра в числе k - четная, то есть k - четное число.  преобразуем числа n-3 и n+3 имеют одинаковые остатки при делении на 6. рассматривая возможные остатки от деления на 6 () и пользуясь тем, что произведение (n-3)(n+3) будет иметь тот же остаток, что и квадрат остатка сомножителей, мы получим возможные варианты остаток остаток квадрата остатка 0 0 1 1 2 4 3 3 4 4 5 1 число 100k может давать следующие остатки при делении на 6. k остаток 1 4 2 2 3 0 4 4 5 2 6 0 и так далее сопоставляя две таблицы, мы понимаем, что k = 1, 4, то есть k=3m+1, где m - натуральное (100*0+9 = 109 - не квадрат). нам осталось доказать, что m не может быть четным. итак число n^2 может иметь следующие остатки при делении на 8 0, 1, 4, 1, 0, 1, 4, 1 и так далее число 109 дает 5 в остатке при делении на 8, число 300 - дает 4 значит остатки от деления 300m+109 на 8 будут такие (m = 1, 2, 1, 5, 1, 5, 1 и так далее остаток 5 невозможен (см остатки n^2 при делении на 8), значит отсюда мы понимаем, что m обязано быть нечетным (тогда остаток будет 1). значит m - нечетно, 3m+1 = k - четно, и третья справа цифра тоже четна.

цена деления клеточки 5 км × 10 мин

1 способ.

s = 75 км - расстояние

t = 1,5 ч - 10 мин = 3/2 ч - 1/6 ч = (9/6 - 1/6) ч = 8/6 ч - время в пути

v = 75 : 8/6 = 75 · 6/8 = 56,25 км/ч - средняя скорость автобуса

2 способ.

1) s = 30 км - расстояние от москвы до пушкино

t = 40 мин = 40/60 ч = 2/3 ч - время в пути

v = 30 : 2/3 = 30 · 3/2 = 45 км/ч - с такой скоростью двигался автобус до пушкино

2) s = 45 км - расстояние от пушкино до сергиева посада

t = 40 мин = 40/60 ч = 2/3 ч - время в пути

v = 45 : 2/3 = 45 · 3/2 = 67,5 км/ч - с такой скоростью двигался автобус до сергиева посада

3) (45 + 67,5) : 2 = 112,5 : 2 = 56,25 км/ч - средняя скорость автобуса

ответ: 56,25 км/ч.