Площини а і в перитинаються по прямій а у площині а вибрано точку а таку,що відстань від неї до до площини в=4 см , до прямої а-8см.знайдіть кут між площинами а і в

відстань від точки до площини  — це довжина найкоротшого вектора, проведеного до площини. оскільки таким вектором є перпендикуляр, то відстань рівна довжині перпендикуляра.

на практиці площину рівнянням  ax + by + cz + d = 0. точка в просторі  (3d)  характеризується трьома координатами  f(x0, y0, z0).  формула відстань від точки до площини знаходять за формулоювона виводиться аналогічно до  формули відстані від точки до прямої  на площині  (2d)  і рівна проекції будь-якого вектора проведеного з точки до площини на нормальний вектор площини (див. рис).

на практиці ніякої побудови чи аналізу виконувати не потрібно. просто підставити дані у формулу і порахувати. обчислення не надто складні, однак вартує користуватися калькулятором для обчислення кореня та ділення на нього. решта дій можна виконати без допоміжної техніки.

приклад 1.  знайти відстань від точки  f(1; 2; -1)  до площини  x-2y+3z-7=0.  розв'язання:   застосовуємо формулу відстані від точки до площини  відстань рівна  3,47  умовних одиниці.

приклад 2.  знайти відстань від точки  m(3; 1; 2)  до площини  2x+y-z+5=0.розв'язання:   підставляємо значення у формулу та знаходимо відстаньось так легко обчислили відстань.

приклад 3.  трикутна піраміда задана вершинами  a(1; -1; 2), b(3; 5; 1), c(2; 4; 0), d(8; 1; 3).  знайти висоту піраміди, проведеної з вершини  d  до основи.  розв'язання: складемо  рівняння площини через три точки  . для цього виберемо довільну точку  m(x; y; z)  із площини і побудуємо три векториam(x-1; y+1; z-2); ab(3-1; 5+1; 1-2)=(2; 6; -1); ac(2-1; 4+1; 0-2)=(1; 5; -2).  знайдемо мішаний добуток векторів площинирозпишемо  визначник  за елементами першого рядкаканонічне рівняння площини наступне-7x+3y+4z+2=0.маючи рівняння і точку  d(8; 1; 3)  відстань обчислюємо за формулою

висота піраміди  4,53  умовні одиниці.

якщо часто доводиться шукати відстань і є можливість написати калькулятор в пакеті чи певній мові програмування то варто це зробити. по- перше ви поглибите знання з програмування чи користування пакетами. з другої сторони, написавши алгоритм обчислень один раз, ви зможете розв'язати багато , змінюючи лише вхідні дані. в пакеті маple код калькулятора для обчислення відстані від точки до площини матиме вигляд> restart; > a: =-7; b: =3; c: =4; dd: =2; x0: =8; y0: =1; z0: =3;

> dist: =abs(a*x0+b*y0+c*z0+dd)/sqrt(a^2+b^2+c^2);