A) известно, что sina + cosa = p найдите; 1) sina*cosa 2) sin²a + cos²a 3) sin³a + cos³a 4) sin⁴a + cos⁴a б)зная, что tgφ= и φ ∈ [0; π/2] в) докажите тождество 1) 2) ctg²a - cos²a = ctg²acos²a

А)     sinα +cosα = p ;   ===============   ограничение на    p:       p    =  sinα +cosα  =√2sin(α+45°)    ⇒     |p|  ≤  √2   иначе   -  √2    ≤ p   ≤  √2   (   или   p  ∈   [ -√2 ;   √2]    ) в  противном случае    ,  продолжать  бессмысленно  === 1) sin²α +cos²α =1 _тождество. 2) (sinα+cosα)² =sin²α +cos²α  +2sinα*cosα =1+2sinα*cosα⇔p² = 1 +2sinα*cosα ⇒  sinα*cosα = (p² -1) /2. 3) sin³α +cos³α = (sinα+cosα) (sin²α  -sinα*cosα +  cos²α) =p*(  1-  (p ² -1) /2 )  =  p( -p² +3)/2.         * * *   p(3 -p²) /3 * * * 4) просто:       sin⁴α +cos⁴α=(sinα +cosα)(  sin³α +cos³α) -  sinα*cosα (sin ²α +cos²α) =  p²(  -  p² +3)/2 -  (p² -1) /2   = (-p⁴+2p² +1)/2  .    * * * (sinα +cosα)(  sin³α +cos³α) =sin⁴α +cos⁴α +sinα*cosα (sin²α +cos²α) * * * можно   использовать формулу    (a+b)⁴ =a⁴ +4a³b +6a²b²  +4ab³ +b⁴ ⇒ a⁴ +b⁴= (a+b)⁴-4ab(a²+b²)-6(ab)²  . sin⁴α +cos⁴α =(sinα +cosα)⁴ -    4sinα *cosα (  sin²α +cos²α)  -  6(sinα *cosα )²   .sin⁴α +cos⁴α =  (sinα +cosα)⁴ -    4sinα *cosα -  6(sinα *cosα )²  =p⁴ - 2(p² -1)   -  3(p  ² -1)² /2  =   (-p⁴+2p² +1)/2  .  ==================================== б)   зная, что tgφ= (a²+b²) /(a+b)    и   φ ∈ [0; π/2]   хорошо ,что нет продолжение ==================================== в)докажите тождество  1)  (tqx +tqy)/(ctqx +ctqy) =tqx*tqy   * * *  (a+b) /(1/a+1/b) = (a+b) /(  (a+b) /ab )  =   ab * * * (tqx +tqy)/(ctqx +ctqy) =  (tqx +tqy)/( 1/tqx + 1/tqy) =  (tqx +tqy)/( 1/tqx + 1/tqy)=(tqx +tqy)  /(  (tqx  +  tqy )  /  tqx *tqy ) =    tqx *tqy  . 2) ctg²a - cos²a = ctg²acos²a  ctg²a  -  cos²a =ctg²a   -  ctq²α*sin²α=ctg²a(1  -  sin²α) =  ctg²a*cos²α . * * *  * * *  * *  * * *  * * *  * *  * * *  * * *  * *  * * *  * * *  * * основные тригонометрические тождества: sin²x  + cos²x  = 1 ;   tgx    =    sinx  /  cosx   ;   ctgx    =    cosx  /  sinx ;   tgx *  ctgx  = 1 ; tg²x  + 1    =    1 /  cos²x   ;   ctg²x  + 1    =    1/sin²x.

обозначим всю работу за 1.

работа равна скорость*время.

скорость виктора обозначим а, алексея - в, андрея - с.

тогда получим систему уравнений:

(a+b)*8=1 ⇒ a+b=1/8 ⇒ a=1/8-b ⇒ 1/8-1/24=2/24=1/12

(c+a)*8=1⇒ a+c=1/8 ⇒ c=1/8-a = 1/8-1/8+b =b

(b+c)*12=1 ⇒b+c=1/12 ⇒ 2c=1/12 ⇒c=1/24

a+b+c=1/12+1/24+1/24=(2+1+1)/24=1/6

то есть втроем за 1 день они сделают 1/6 часть работы, значит всю работу (1)  они сделают за 6 дней.

ответ - втроем они сделают работу за 6 дней