Через точку а, окружности радиусом 10 проведены две хорды ав и ас, так что угол вас =90 градусов, ас=12. найти длину окружности, касающейся данной окружности и посторенных хорд.

 

через точку а окружности радиусом 10 проведены две хорды ав и ас, так что угол вас =90°, ас=12. найти длину окружности, касающейся данной окружности  и посторенных хорд.

так как угол вас -90°, треугольник авс - прямоугольный, его гипотенуза вс - диаметр окружности, и равна 2r=20, так как центром описанной вокруг прямоугольного треугольника окружности является середина его гипотенузы.

третья сторона ав этого треугольника равна 16   ( треугольник египетский с отношением сторон 3: 4: 5, можно проверить по т. пифагора).

проведем из вершины угла в прямую, параллельную ас.  из   вершины с проведем касательную см к внутренней окружности получена прямоугольная трапеция авмс с вписанной окружностью, диаметр которой равен ав, так как диаметр вписанной окружности в трапецию равен высоте трапеции, а ав перпендикулярна основаниям трапеции и является ее высотой. 

так как диаметр меньшей окружности равен 16, ее радиус равен r=16: 2=8 а длина окружности с=2πr =16 π

 

пусть  o1  — центр искомой окружности,  x  — её радиус,  m  и  n  — точки касания с   ab  и  ac,  o  — центр данной окружности,  k  — середина  ab.

из прямоугольного треугольника  abc  находим, что  aв  = 16. тогда  ok  = 6,  am  =  an  =  x, а стороны прямоугольной трапеции  oo1mk  равны:

mk  = | 8 -  x|,  mo1  =  x,  ok  = 6,  oo1  = 10 -  x. 

по теореме пифагора

(6 -  x)2  + (8 -  x)2  = (10 -  x)2.

 

отсюда находим, что  x  = 8.

Теорема: сумма углов любого треугольника равна  180°.  одно из свойств равнобедренного треугольника - углы при основании равны. пусть каждый угол при основании равнобедренного треугольника n⁰. тогда угол при вершине (т.е. противолежащий основанию) равен  2n⁰. зная, что сумма углов треугольника равна 180⁰, составим уравнение: n + n  + 2n  = 180 4n = 180 n = 180 : 4 n= 45  ⁰  - каждый угол при основании 45 * 2 = 90°  - угол при вершине данный равнобедренный треугольник  - прямоугольный.